Question

在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-2mx+n+1的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線上的一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，且AC=3．
（1）用配方法把解析式y(tǒng)=x²-2mx+n+1化成y=a（x-h）²+k的形式；用含m、n的代數(shù)式表示頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如果頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中的拋物線上有一點(diǎn)D，使得直線DB經(jīng)過第一、二、四象限，
交x軸于點(diǎn)F，且原點(diǎn)O到直線DB的距離為，求這時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）把拋物線利用配方法變?yōu)轫旤c(diǎn)形式，即可找出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過C作CE垂直于x軸，由點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，把x=1代入拋物線解析式表示出C的縱坐標(biāo)，且縱坐標(biāo)大于0，即為CE的長(zhǎng)，同時(shí)得到OE等于C的橫坐標(biāo)，由拋物線A在x軸負(fù)半軸上，得到A的橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)等于0，表示出A的坐標(biāo)，同時(shí)根據(jù)縱坐標(biāo)為0列出m與n的關(guān)系式，記作①，根據(jù)OA與OE的和表示出AE，且由AC及CE的長(zhǎng)，在直角三角形ACE中，利用勾股定理列出m與n的另一個(gè)關(guān)系式，記作②，把①代入②消去n得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，把m的值代入①求出n的值，即可確定出拋物線的解析式；
（3）由直線DB過第一、二、四象限設(shè)直線DB與x軸正半軸交于F，過O作OM垂直于直線DB，由已知O到直線DB的距離得到OM的長(zhǎng)，根據(jù)（2）求出的拋物線解析式，令x=0求出y的值，確定出B的坐標(biāo)，即可得到OB的長(zhǎng)，在直角三角形OBM中，由OB及OM的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BM的長(zhǎng)，由OB⊥OF，OM⊥BF，根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)銳角相等，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形BOM與三角形MOF相似，根據(jù)相似得比例，由MB和OM的長(zhǎng)即可得到OF=2OB，即可求出OF的長(zhǎng)，得到F的坐標(biāo)，設(shè)出直線BF的解析式為y=kx+b，把B和F坐標(biāo)代入確定出k與b的值，從而得到直線FB的方程，把拋物線解析式與直線FB聯(lián)立，即可求出交點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解答：解：（1）配方得：y=（x-m）²+（-m²+n+1），
所以頂點(diǎn)A（m，-m²+n+1）；

（2）根據(jù)題意，如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥x軸交于點(diǎn)E，
∵拋物線上一點(diǎn)C的橫左邊為1，且AC=3，
∴C（1，n-2m+2），其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2，
∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，
∴A（m，0），n=m²-1①，
其中m＜0，OA=-m，則AE=OE+OA=1-m，
在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理得：AE²+CE²=AC²，
即（1-m）²+（n-2m+2）²=（3）²②，
把①代入②得：（m²-2m+1）²+（m²-2m+1）-90=0，
∴（m²-2m+11）（m²-2m-8）=0，
∴m²-2m+11=0或m²-2m-8=0，
方程m²-2m+11=0，∵△=b²-4ac=4-44=-40＜0，∴方程無解；
方程m²-2m-8=0，分解因式得：（m-4）（m+2）=0，解得：m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，∴m=-2，
把m=-2代入①得：n=4-1=3，
∴拋物線解析式為y=x²+4x+4；

（3）∵直線DB經(jīng)過第一、二、四象限，
設(shè)直線DB交x軸正半軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OM⊥DB于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)O到直線DB的距離為，∴OM=，
∵拋物線y=x²+4x+4與y軸交于點(diǎn)B，∴B（0，4），∴OB=4，
在Rt△OBM中，根據(jù)勾股定理得：BM===，
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴∠OBM+∠BOM=90°，∠OBM+∠BFO=90°，
∴∠BOM=∠BFO，又∠OMB=∠OMF=90°，
∴△OBM∽△FOM，
∴=，即=，
∴OF=2BO=8，∴F（8，0），
設(shè)直線FB的方程為y=kx+b，
把F和B的坐標(biāo)代入得：，解得，
∴直線BF解析式為y=-x+4，
∵點(diǎn)D既在拋物線上，又在直線BF上，
∴，解得：或，
∵BD為直線，∴點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-，）．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，一元二次方程的解法，一次函數(shù)的性質(zhì)等，要求學(xué)生全面掌握所學(xué)知識(shí)，把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，作為壓軸題，能有效地考查學(xué)生的理解能力，分析能力，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的駕馭能力．