平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1, 0),OB=OC,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D

  (1) 求此拋物線(xiàn)的解析式;

  (2) 若此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APB=∠ACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

    (3) Q為線(xiàn)段BD上一點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,若,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)△的面積.

 


解:(1)∵ ,

∴ 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)

∵ 拋物線(xiàn)x軸交于

   點(diǎn)A、點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,

∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為OB=3.…………… 1分

可得該拋物線(xiàn)的解析式為

OB=OC,拋物線(xiàn)與y軸的正半軸交于點(diǎn)C

OC=3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式,解得a=1.……2分

∴ 此拋物線(xiàn)的解析式為.(如圖9)

       (2)作△ABC的外接圓☉E,設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)☉E與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)、點(diǎn)均為所求點(diǎn).(如圖10)

            可知圓心E必在AB邊的垂直平分線(xiàn)即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)上.

、都是弧AB所對(duì)的圓周角,

,且射線(xiàn)FE上的其它點(diǎn)P都不滿(mǎn)足

由(1)可知 ∠OBC=45°,AB=2,OF=2.

可得圓心E也在BC邊的垂直平分線(xiàn)即直線(xiàn)上.

            ∴ 點(diǎn)E的坐標(biāo)為.………………………………………………… 4分

∴ 由勾股定理得

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為.…………………………………………… 5分

由對(duì)稱(chēng)性得點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………………………… 6分

∴符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為、.

(3)∵ 點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為,

可得直線(xiàn)BD的解析式為,直線(xiàn)BDx軸所夾的銳角為45°.

∵ 點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,(如圖11)

若設(shè)與∠AQB的平分線(xiàn)的交點(diǎn)為M

則有 ,,QB,三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.

,

x軸于點(diǎn)N

∵ 點(diǎn)Q在線(xiàn)段BD上, QB,三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上,

,

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵ 點(diǎn)Q在線(xiàn)段BD上,

∴ 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,其中

,

∴ 由勾股定理得

解得

經(jīng)檢驗(yàn),的范圍內(nèi).

∴ 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. …………………………………………… 7分

此時(shí).… 8分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=
m
x
(m≠0)的圖象相交于A(yíng)、B兩點(diǎn),且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-
1
2
,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,AC=1,OC=2.
求:(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求一次函數(shù)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△AOB的位置如圖所示,已知∠AOB=精英家教網(wǎng)90°,∠A=60°,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-
3
,1).
求:(1)點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)圖象經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式和這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖(1),將Rt△AOB放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2
3
,斜邊OB在x軸的正半軸上,點(diǎn)A在第一象限,∠AOB的平分線(xiàn)OC交AB于C.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線(xiàn)BC-CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線(xiàn)CO-Oy以相同的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)OC、BC的長(zhǎng);
(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)P在OC上、Q在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖(2),設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),△OPM為等腰三角形?求出所有滿(mǎn)足條件的t值.
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(2,m),B(-3,n)為兩動(dòng)點(diǎn),其中m>1,連接O精英家教網(wǎng)A,OB,OA⊥OB,作BC⊥x軸于C點(diǎn),AD⊥x軸于D點(diǎn).
(1)求證:mn=6;
(2)當(dāng)S△AOB=10時(shí),拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)且以y軸為對(duì)稱(chēng)軸,求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于P,Q兩點(diǎn),問(wèn)是否存在直線(xiàn)l,使S△POF:S△QOF=1:2?若存在,求出直線(xiàn)l對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•河?xùn)|區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,4),現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q,點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線(xiàn)段OC(不包括端點(diǎn)O,C)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線(xiàn)段CD(不包括端點(diǎn)C,D)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),同時(shí)停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t=2秒時(shí)PQ=2
5

(Ⅰ)求點(diǎn)D的坐標(biāo),并直接寫(xiě)出t的取值范圍;
(Ⅱ)連接AQ并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E,把AE沿AD翻折交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,連接EF,則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化?若變化,求出S與t的函數(shù)關(guān)系式;若不變化,求出S的值.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,t為何值時(shí),PQ∥AF?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案