平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1, 0),OB=OC,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D.
(1) 求此拋物線(xiàn)的解析式;
(2) 若此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APB=∠ACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3) Q為線(xiàn)段BD上一點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,若,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)△的面積.
解:(1)∵ ,
∴ 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn).
∵ 拋物線(xiàn)與x軸交于
點(diǎn)A、點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,
∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為,OB=3.…………… 1分
可得該拋物線(xiàn)的解析式為.
∵ OB=OC,拋物線(xiàn)與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,
∴ OC=3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式,解得a=1.……2分
∴ 此拋物線(xiàn)的解析式為.(如圖9)
(2)作△ABC的外接圓☉E,設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)☉E與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)、點(diǎn)均為所求點(diǎn).(如圖10)
可知圓心E必在AB邊的垂直平分線(xiàn)即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)上.
∵ 、都是弧AB所對(duì)的圓周角,
∴ ,且射線(xiàn)FE上的其它點(diǎn)P都不滿(mǎn)足.
由(1)可知 ∠OBC=45°,AB=2,OF=2.
可得圓心E也在BC邊的垂直平分線(xiàn)即直線(xiàn)上.
∴ 點(diǎn)E的坐標(biāo)為.………………………………………………… 4分
∴ 由勾股定理得 .
∴ .
∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為.…………………………………………… 5分
由對(duì)稱(chēng)性得點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………………………… 6分
∴符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為、.
(3)∵ 點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為、,
可得直線(xiàn)BD的解析式為,直線(xiàn)BD與x軸所夾的銳角為45°.
∵ 點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,(如圖11)
若設(shè)與∠AQB的平分線(xiàn)的交點(diǎn)為M,
則有 ,,,Q,B,三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.
∵ ,
∴
作⊥x軸于點(diǎn)N.
∵ 點(diǎn)Q在線(xiàn)段BD上, Q,B,三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上,
∴ ,.
∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∵ 點(diǎn)Q在線(xiàn)段BD上,
∴ 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,其中.
∵ ,
∴ 由勾股定理得 .
解得.
經(jīng)檢驗(yàn),在的范圍內(nèi).
∴ 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. …………………………………………… 7分
此時(shí).… 8分
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