Question

（2013•臨沂）如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時(shí)，如圖1，則

PE

PF

的值為

3

；
（2）現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求

PE

PF

的值；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2時(shí)，如圖3，

PE

PF

的值是否變化？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）證明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得

PE

PF

的值；
（2）如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，證明△PME∽△PNF，并利用（1）的結(jié)論，求得

PE

PF

的值；
（3）如答圖2所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，首先證明△APM∽△PCN，求得

PM

PN

的值；然后證明△PME∽△PNF，從而由

PE

PF

=

PM

PN

求得

PE

PF

的值．與（1）（2）問(wèn)相比較，

PE

PF

的值發(fā)生了變化．

解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE與△PCF中，

∠PAE=∠CPF PA=PC ∠APE=∠PCF

∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中，

PF

CF

=

PF

PE

=tan30°=

3

3

，
∴

PE

PF

=

3

．

（2）如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM⊥PN．

∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴

PE

PF

=

PM

PN

．
由（1）知，

PM

PN

=

3

，
∴

PE

PF

=

3

．

（3）答：變化．
證明：如答圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴

PM

CN

=

AP

PC

=

1

2

，得CN=2PM．
在Rt△PCN中，

PN

CN

=

PN

2PM

=tan30°=

3

3

，∴

PM

PN

=

3

2

．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴

PE

PF

=

PM

PN

=

3

2

．
∴

PE

PF

的值發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．本題三問(wèn)的解題思路是一致的：即都是直接或作輔助線構(gòu)造直角三角形，通過(guò)相似三角形或全等三角形解決問(wèn)題．