Question

∠ACD為△ABC的一個外角，∠ABC、∠ACD的角平分線交于點P．
（1）若∠ABC=40°，∠ACD=110°，則∠P=

35°

；
（2）若∠ACD-∠ABC=64°，則∠P=

32°

；
（3）若∠A=76°，則∠P=

38°

；
（4）若∠P=46°，則∠A=

92°

；
（5）你能找出∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請寫出你找的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC和∠PCD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解；
（2）（3）（4）（5）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ACD與∠PCD，再根據(jù)角平分線的定義整理即可得到∠A與∠P的關(guān)系，然后代入數(shù)據(jù)計算即可得解．

解答：解：（1）∵PB、PC分別是∠ABC、∠ACD的角平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC=20°，∠PCD=

1

2

∠ACD=55°，
又∵∠PCD=∠PBC+∠P，
∴55°=20°+∠P，
解得∠P=35°；

（2）由三角形的外角性質(zhì)可得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∵PB、PC分別是∠ABC、∠ACD的角平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠P，
整理得，∠P=

1

2

∠A，
在△ABC中，∠ACD-∠ABC=∠A=64°，
∴∠P=

1

2

×64°=32°；

（3）∠A=76°，則∠P=

1

2

×76°=38°；

（4）∠P=46°，則∠A=2∠P=2×46°=92°；
（5）∠P=

1

2

∠A．
理由如下：由三角形的外角性質(zhì)可得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∵PB、PC分別是∠ABC、∠ACD的角平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠P，
整理得，∠P=

1

2

∠A．
故答案為：（1）35°，（2）32°，（3）38°，（4）92°．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理與三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．