如圖所示,已知在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB,∠ABC的平分線BD交AC于D,從點(diǎn)C向BD的延長(zhǎng)線作垂線CE,垂足為E,求證BD=2CE.

答案:略
解析:

證明:延長(zhǎng)BACE相交于點(diǎn)F

BD平分∠ABC(已知),

∴∠FBE=CBE(角平分線定義)

BECE(已知),∴∠BEC=BEF=90°(垂直定義)

在△BFE和△BCE中,

∴△BFE≌△BCE,

FE=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),∴FC=2CE

RtBFE中,

FBE+∠F=90°(直角三角形的兩個(gè)銳角互余),

RtBAD中,

FBE+∠BDA=90°(直角三角形的兩個(gè)銳角互余),

∴∠F=BDA(同角的余角相等)

又∵∠ABC=ACB(已知),∴AB=AC(等角對(duì)等邊)

在△BAD和△CAF中,

∴△BAD≌△CAF.∴BD=CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),

BD=2CE(等量代換)


提示:

由此圖不能證得BD=2CE,考慮引輔助線,構(gòu)造一條線段使它能夠等于2CE,且能等于BD,即使用延長(zhǎng)線法,延長(zhǎng)BACE交于點(diǎn)F,證明FC=2CE,這一點(diǎn)可通過證明△BFE≌△BCE得到.再證明FC=BD,這一點(diǎn)可通過證明△FAC≌△DAB得到,由此可證得BD=2CE


練習(xí)冊(cè)系列答案
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°.

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