如圖所示,已知在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB,∠ABC的平分線BD交AC于D,從點(diǎn)C向BD的延長(zhǎng)線作垂線CE,垂足為E,求證BD=2CE.
證明:延長(zhǎng)BA,CE相交于點(diǎn)F. ∵BD平分∠ABC(已知), ∴∠FBE=∠CBE(角平分線定義). ∵BE⊥CE(已知),∴∠BEC=∠BEF=90°(垂直定義). 在△BFE和△BCE中, ∴△BFE≌△BCE, ∴FE=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),∴FC=2CE. 在Rt△BFE中, ∠FBE+∠F=90°(直角三角形的兩個(gè)銳角互余), 在Rt△BAD中, ∠FBE+∠BDA=90°(直角三角形的兩個(gè)銳角互余), ∴∠F=∠BDA(同角的余角相等). 又∵∠ABC=∠ACB(已知),∴AB=AC(等角對(duì)等邊). 在△BAD和△CAF中, ∴△BAD≌△CAF.∴BD=CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等), ∴BD=2CE(等量代換). |
由此圖不能證得BD=2CE,考慮引輔助線,構(gòu)造一條線段使它能夠等于2CE,且能等于BD,即使用延長(zhǎng)線法,延長(zhǎng)BA,CE交于點(diǎn)F,證明FC=2CE,這一點(diǎn)可通過證明△BFE≌△BCE得到.再證明FC=BD,這一點(diǎn)可通過證明△FAC≌△DAB得到,由此可證得BD=2CE. |
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