Question

如圖所示，已知在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠ABC的平分線BD交AC于D，從點(diǎn)C向BD的延長(zhǎng)線作垂線CE，垂足為E，求證BD=2CE．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：延長(zhǎng)BA，CE相交于點(diǎn)F． ∵BD平分∠ABC(已知)， ∴∠FBE=∠CBE(角平分線定義)． ∵BE⊥CE(已知)，∴∠BEC=∠BEF=90°(垂直定義)． 在△BFE和△BCE中， ∴△BFE≌△BCE， ∴FE=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)，∴FC=2CE． 在Rt△BFE中， ∠FBE＋∠F=90°(直角三角形的兩個(gè)銳角互余)， 在Rt△BAD中， ∠FBE＋∠BDA=90°(直角三角形的兩個(gè)銳角互余)， ∴∠F=∠BDA(同角的余角相等)． 又∵∠ABC=∠ACB(已知)，∴AB=AC(等角對(duì)等邊)． 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF．∴BD=CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)， ∴BD=2CE(等量代換)．

提示：

由此圖不能證得BD=2CE，考慮引輔助線，構(gòu)造一條線段使它能夠等于2CE，且能等于BD，即使用延長(zhǎng)線法，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，證明FC=2CE，這一點(diǎn)可通過證明△BFE≌△BCE得到．再證明FC=BD，這一點(diǎn)可通過證明△FAC≌△DAB得到，由此可證得BD=2CE．