Question

如圖，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊與拋物線y=ax²（a＜0）交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

（1）若測(cè)得OA=OB=2（如圖1），求a的值；
（2）對(duì)同一條拋物線，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時(shí)，過(guò)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，測(cè)得OF=1，寫出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；
（3）對(duì)該拋物線，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)，交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，試求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)線段AB與y軸的交點(diǎn)為C，由拋物線的對(duì)稱性可得C為AB中點(diǎn)，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，∴B（2，-2），
將B（2，-2）代入拋物線y=ax²（a＜0）得，a=-．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，∴B （1，-），
設(shè)A（-m，-m ²）（m＞0），則
OB²=1²+（）²=，OA²=m²+m⁴，AB²=（1+m）²+（-+m²）²，
∵∠AOB=90°，∴AB²=OA²+OB²，
∴（1+m）²+（-+m²）²=m²+m⁴+，
解得：m=0（不合題意舍去）或m=4，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4．

（3）解法一：設(shè)A（-m，-m ²）（m＞0），B（n，-n ²）（n＞0），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則，
①×n+②×m得，（m+n）b=-（m²n+mn²）=-mn（m+n），
∴b=-mn，
由前可知，OB²=n²+n⁴，OA²=m²+m⁴，AB²=（n+m）²+（-m²+n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+n⁴+m²+m⁴=（n+m）²+（-m²+n²）²，
化簡(jiǎn)，得mn=4．
∴b=-×4=-2．由此可知不論k為何值，直線AB恒過(guò)點(diǎn)（0，-2），

解法二：設(shè)A（-m，-m ²）（m＞0），B（n，-n ²）（n＞0），
直線AB與y軸的交點(diǎn)為C，根據(jù)S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△BOF=S_△AOC+S_△BOC，可得
×（m²+n²）（m+n）-m×m²-n×n²=CO•m+CO•n
化簡(jiǎn)，得CO=mn，
由前可知，OB²=n²+n⁴，OA²=m²+m⁴，AB²=（n+m）²+（-m²+n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+n⁴+m²+m⁴=（n+m）²+（-m²+n²）²，
化簡(jiǎn)，得mn=4．
∴OC=2為固定值．故直線AB恒過(guò)其與y軸的交點(diǎn)C（0，-2）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)成性，先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，可利用AB²=OA²+OB²，求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．
（3）首先設(shè)A（-m，-m²）（m＞0），B（n，-n²）（n＞0），表示出直線AB解析式中b=-mn，再利用勾股定理得出mn=4，進(jìn)而得出直線AB恒過(guò)其與y軸的交點(diǎn)C（0，-2）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線的對(duì)稱性和勾股定理以及一元二次方程解法，第（3）問(wèn)求出mn=4是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．