Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作射線CM且滿(mǎn)足∠ACM=∠ABC．

（1）判斷CM與⊙O的位置關(guān)系，并證明；

（2）延長(zhǎng)BC到D，使BC=CD，連接AD與CM交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，ED=2，求△ACE的外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）△AEC的外接圓的半徑為

【解析】試題分析：（1）利用圓周角定理結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)利用∠ACM=∠ABC求出答案；（2）首先得出△AEC的外接圓的直徑是AC，進(jìn)而結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．

試題解析：（1）證明：如圖，連接OC

∵AB為O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵∠ACM=∠ABC，∠OAC=∠OCA，

∴∠OCA+∠ACM=90°，

∴CM是O的切線；

(2)∵BC=CD，

∴OC∥AD，

又∵OC⊥CE，

∴AD⊥CE，

∴△AEC是直角三角形，

∴△AEC的外接圓的直徑是AC，

又∵∠ABC+∠BAC=90°,∠ACM+∠ECD=90°，

∴△ABC∽△CDE，

∴，

O的半徑為3，

∴AB=6，

∴，

∴BC2=12，

∴BC=2，

∴AC=，

∴△AEC的外接圓的半徑為.

故答案為： .