【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣8與x軸交于兩點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,連接CE,已知點(diǎn)A,D的坐標(biāo)分別為(﹣2,0),(6,﹣8).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)試探究在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)F,使得△FOB和△EOB的面積相等,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)若點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)其坐標(biāo)為(0,m),直線PB與直線l交于點(diǎn)Q,請(qǐng)直接寫出:當(dāng)m為何值時(shí),△OPQ是等腰三角形.
【答案】
(1)
解:將點(diǎn)A(﹣2,0)、D(6,﹣8)代入y=ax2+bx﹣8,
得: ,
解得: ,
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣3x﹣8
(2)
解:設(shè)直線l的解析式為y=kx,
將D(6,﹣8)代入,得:6k=﹣8,
解得:k=﹣ ,
∴直線l的解析式為y=﹣ x,
又拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣ =3,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,﹣4)
(3)
解:存在,
設(shè)點(diǎn)F(x, x2﹣3x﹣8),
∵S△FOB=S△EOB,即 OByF= OByE,
∴yF=yE,即 x2﹣3x﹣8=﹣4,
解得:x=3± ,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3﹣ ,﹣4)或(3+ ,﹣4)
(4)
解:①如圖1
當(dāng)OP=OQ時(shí),△OPQ是等腰三角形.
∵點(diǎn)E坐標(biāo)(3,﹣4),
∴OE= =5,過點(diǎn)E作直線ME∥PB,交y軸于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)H.則 = ,
∴OM=OE=5,
∴點(diǎn)M坐標(biāo)(0,﹣5).
設(shè)直線ME的解析式為y=k1x﹣5,
∴3k1﹣5=﹣4,
∴k1= ,
∴直線ME解析式為y= x﹣5,
令y=0,得 x﹣5=0,解得x=15,
∴點(diǎn)H坐標(biāo)(15,0),
∵M(jìn)H∥PB,
∴ = ,即 = ,
∴m=﹣ ,
②如圖2,
當(dāng)QO=QP時(shí),△POQ是等腰三角形.
∵當(dāng)x=0時(shí),y= x2﹣3x﹣8=﹣8,
∴點(diǎn)C坐標(biāo)(0,﹣8),
∴CE= =5,
∴OE=CE,
∴∠1=∠2,
∵QO=QP,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴CE∥PB,
設(shè)直線CE交x軸于N,解析式為y=k2x﹣8,
∴3k2﹣8=﹣4,
∴k2= ,
∴直線CE解析式為y= x﹣8,
令y=0,得 x﹣8=0,
∴x=6,
∴點(diǎn)N坐標(biāo)(6,0),
∵CN∥PB,
∴ = ,
∴ = ,
∴m=﹣ .
③OP=PQ時(shí),顯然不可能,理由,
∵D(6,﹣8),
∴∠1<∠BOD,
∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP,
∴∠PQO>∠1,
∴OP≠PQ,
綜上所述,當(dāng)m=﹣ 或﹣ 時(shí),△OPQ是等腰三角形
【解析】(1)待定系數(shù)法求解可得;(2)求得直線l的解析式和拋物線對(duì)稱軸即可得出交點(diǎn)坐標(biāo);(3)根據(jù)△FOB和△EOB共底且面積相等可得yF=yE , 即 x2﹣3x﹣8=﹣4,解之可得答案;(4)①如圖1中,當(dāng)OP=OQ時(shí),△OPQ是等腰三角形,過點(diǎn)E作直線ME∥PB,交y軸于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)H,求出點(diǎn)M、H的坐標(biāo)即可解決問題.②如圖2中,當(dāng)QO=QP時(shí),△POQ是等腰三角形,先證明CE∥PQ,根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程即可解決問題.
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【題目】如圖,AB是O的直徑,AE交O于點(diǎn)E,且與O的切線CD互相垂直,垂足為D.
(1)求證:∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4,AD=8:①求O的半徑;②求tan∠BAE的值.
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【題目】如圖,已知∠1=∠2=50°,EF∥DB.
(1)DG與AB平行嗎?請(qǐng)說明理由.
(2)若EC平分∠FED,求∠C的度數(shù).
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【題目】已知:∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CM,BE⊥CM,垂足分別為D,E,
(1)如圖1,
①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是;
②請(qǐng)寫出線段AD,BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系 .
(2)如圖2,上述結(jié)論②還成立嗎?如果不成立,請(qǐng)直接寫出線段AD,BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,以BC為邊作等邊△BDC,連接AD.
(1)如圖1,直接寫出∠ADB的度數(shù) ;
(2)如圖2,作∠ABM=60°在BM上截取BE,使BE=BA,連接CE,判斷CE與AD的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并加以證明;
(3)在(2)的條件下,連接DE,AE.若∠DEC=60°,DE=2,求AE的長.
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【題目】已知∠AOB=100°,OC平分∠AOB,過點(diǎn)O作射線OD,使∠COD=30°,則∠AOD的度數(shù)________.
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【題目】某一空間圖形的三視圖如下圖所示,其中主視圖:半徑為1的半圓以及高為1的矩形;左視圖:半徑為1的四分之一圓以及高為1的矩形;俯視圖:半徑為1的圓,求此圖形的體積.
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【題目】已知:在△ABC中, ∠B=60°,D、E分別為AB、BC上的點(diǎn),且AE、CD交于點(diǎn)F.
(1)如圖1,若AE、CD為△ABC的角平分線. ①求證: ∠AFC=120°;②若AD=6,CE=4,求AC的長?
(2)如圖2,若∠FAC=∠FCA=30°,求證:AD=CE.
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【題目】(10分)某工廠計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)24000個(gè)零件,若每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30個(gè)零件,則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個(gè)零件.
(1)求原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)和規(guī)定的天數(shù).
(2)為了提前完成生產(chǎn)任務(wù),工廠在安排原有工人按原計(jì)劃正常生產(chǎn)的同時(shí),引進(jìn)5組機(jī)器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn),已知每組機(jī)器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)比20個(gè)工人原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多20%,按此測(cè)算,恰好提前兩天完成24000個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù),求原計(jì)劃安排的工人人數(shù).
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