Question

已知二次函數y=ax²+4ax+4a-1的圖象是C₁．
（1）求C₁關于點R（1，0）中心對稱的圖象C₂的函數解析式；
（2）在（1）的條件下，設拋物線C₁、C₂與y軸的交點分別為A、B，當AB=18時，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為C₁和C₂關于點R（1，0）中心對稱，所以它們的頂點也中心對稱．先求出y=ax²+4ax+4a-1的頂點坐標，再根據中心對稱的定義求出C₂的頂點坐標，便可進一步求出C₂的函數解析式；
（2）把x=0代入解析式即可得到A、B點的縱坐標，將縱坐標相減，其差的絕對值即為18，可列出等式求出a的值．
解答：解：（1）由y=a（x+2）²-1，可知拋物線C₁的頂點為M（-2，-1）．
由圖知點M（-2，-1）關于點R（1，0）中心對稱的點為N（4，1），
以N（4，1）為頂點，與拋物線C₁關于點R（1，0）中心對稱的圖象C₂也是拋物線，
且C₁與C₂的開口大小相同且方向相反，
故拋物線C₂的函數解析式為y=-a（x-4）²+1，
即y=-ax²+8ax-16a+1．（3分）

（2）令x=0，
得拋物線C₁、C₂與y軸的交點A、B的縱坐標分別為4a-1和-16a+1．
∴AB=|（4a-1）-（-16a+1）|=|20a-2|．
∴|20a-2|=18．
當時，有20a-2=18，得a=1；
當a＜時，有2-20a=18，得．（7分）
點評：此題將中心對稱的問題與二次函數解析式相結合，同時考查了二次函數圖象的性質以及坐標軸上點的距離公式，特別是（2）還涉及到分類討論思想，是一道好題．