Question

如圖，AC⊥BC，AC=BC，過C點(diǎn)任畫直線l，過A點(diǎn)、B點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，垂足為E、F，試畫圖探究AE、BF與EF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意畫出圖形，如圖1，2，3．再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△AEC≌△CFB，進(jìn)而可以得出結(jié)論．

解答：解：AE+BF=EF，BF-AE=EF，AE-BF=EF 
如圖1，∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACE+∠BCF=90°
∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠EAC=∠FCB．
在△AEC和△CFB中

∠AEC=∠BFC ∠EAC=∠FCB AC=BC

，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE=CF，EC=FB，
∵EF=EC+CF，
∴EF=AE+BF；
如圖2，∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACE+∠BCF=90°
∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠EAC=∠FCB．
在△AEC和△CFB中

∠AEC=∠BFC ∠EAC=∠FCB AC=BC

，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE=CF，EC=FB，
∵CE-CF=EF，
∴BF-AE=EF；
如圖3，∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACE+∠BCF=90°
∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠EAC=∠FCB．
在△AEC和△CFB中

∠AEC=∠BFC ∠EAC=∠FCB AC=BC

，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE=CF，EC=FB，
∵CF-CE=EF，
∴AE-BF=EF．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是解答的關(guān)鍵．