Question

把兩個直角邊長均為6的等腰直角三角板ABC和EFG疊放在一起（如圖①），使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現將三角板EFG繞O點順時針旋轉（旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．

（1）探究：在上述旋轉過程中，BH與CK的數量關系以及四邊形CHGK的面積的變化情況（直接寫出探究的結果，不必寫探究及推理過程）；
（2）利用（1）中你得到的結論，解決下面問題：連接HK，在上述旋轉過程中，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時BH的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由ASA證出△CGK≌△BGH，再根據全等三角形的性質得出BH=CK，根據全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半；
（2）根據面積公式得出S_△GHK=S_{四邊形CKGH}-S_△CKH=x²-3x+9，根據△GKH的面積恰好等于△ABC面積的，代入得出方程，求出即可．
解答：解：（1）BH與CK的數量關系：BH=CK，理由是：
連接OC，由直角三角形斜邊上中線性質得出OC=BG，
∵AC=BC，O為AB中點，∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，
∴∠CGB=90°=∠KGH，
∴都減去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，
在△CGK和△BGH中
∵，
∴△CGK≌△BGH（ASA），
∴CK=BH，即BH=CK；
四邊形CHGK的面積的變化情況：四邊形CHGK的面積不變，始終等于四邊形CQGZ的面積，即等于△ACB面積的一半，等于9；
                                
（2）假設存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的的位置．
設BH=x，由題意及（1）中結論可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，
∴S_△CHK=CH×CK=3x-x²，
∴S_△GHK=S_{四邊形CKGH}-S_△CKH=9-（3x-x²）=x²-3x+9，
∵△GKH的面積恰好等于△ABC面積的，
∴x²-3x+9=××6×6，
解得（經檢驗，均符合題意）．            
∴存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的的位置，此時x的值為．
點評：本題考查了旋轉的性質，三角形的面積，全等三角形的性質和判定等知識點，此題有一定的難度，但是一道比較好的題目．