Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，垂足為點O，過D點作DE∥AC交BC的延長線于點E．
（1）求證：△BDE是等腰直角三角形；
（2）已知sin∠CDE=，求AD：BE的值．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BE，BE∥AC，
∴ACED是平行四邊形，
∴AC=DE，
∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴BD=DE
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵AC∥DE，
∴∠BOC=∠BDE=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．

（2）解：∵AD∥BC，
∴，
∴
∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴OC=OB，OA=OD，
∵AC∥DE，
∴∠CDE=∠DCO，
∴sin∠CDE=sin∠DCO=，
在Rt△DCO中，設OD=k，DC=k （k＞0），則OC==2k，
∵平行四邊形ACDE，
∴AD=CE，
∴==，
∴=，
∴=．
分析：（1）推出平行四邊形ACED，根據等腰梯形性質得出AC=DE=BD，得出等腰三角形，根據平行線性質求出∠BOC=∠BDE=90°，即可得出答案；
（2）根據平行線分線段成比例定理得出，根據等腰三角形性質得出AC=BD，推出OC=OB，OA=OD，根據平行線得出sin∠CDE=sin∠DCO=，在Rt△DCO中，設OD=k，DC=k 求出OC=2k，平行四邊形的性質求出AD=CE，求出=，求出的值．即可求出答案．
點評：本題考查了等腰梯形的性質，平行四邊形的性質和判定，等腰三角形的判定，勾股定理、解直角三角形等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．