Question

如圖，已知二次函數（其中0＜m＜1）的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸為直線l．設P為對稱軸l上的點，連接PA、PC，PA=PC．

（1）∠ABC的度數為    °；

（2）求P點坐標（用含m的代數式表示）；

（3）在坐標軸上是否存在點Q（與原點O不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最��？如果存在，求出所有滿足條件的點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）45．

     理由如下：令x=0，則y=-m，C點坐標為（0，-m）．

令y=0，則，解得，．

∵0＜m＜1，點A在點B的左側，

∴B點坐標為（m，0）．∴OB=OC=m．

∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．

（2）解法一：如圖①，作PD⊥y軸，垂足為D，設l與x軸交于點E，

由題意得，拋物線的對稱軸為．

設點P坐標為（，n）．

∵PA= PC， ∴PA²= PC²，即AE²+ PE²=CD²+ PD²．

∴．

解得．∴P點的坐標為．

解法二：連接PB．

由題意得，拋物線的對稱軸為．

∵P在對稱軸l上，∴PA=PB．

∵PA=PC，∴PB=PC．

∵△BOC是等腰直角三角形，且OB=OC，

∴P在BC的垂直平分線上．

∴P點即為對稱軸與直線的交點．

∴P點的坐標為．

（3）解法一：存在點Q滿足題意．

∵P點的坐標為，

∴PA²+ PC²=AE²+ PE²+CD²+ PD²

=．

∵AC²=，∴PA²+ PC²=AC²．∴∠APC＝90°．

∴△PAC是等腰直角三角形．

∵以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，

∴△QBC是等腰直角三角形．

∴由題意知滿足條件的點Q的坐標為（-m，0）或（0，m）．

①如圖①，當Q點的坐標為（-m，0）時，

若PQ與x軸垂直，則，解得，PQ=．

若PQ與x軸不垂直，

則．

∵0＜m＜1，∴當時，取得最小值，PQ取得最小值．

∵＜，

∴當，即Q點的坐標為（，0）時， PQ的長度最小．

②如圖②，當Q點的坐標為（0，m）時，

若PQ與y軸垂直，則，解得，PQ=．

若PQ與y軸不垂直，

則．

∵0＜m＜1，∴當時，取得最小值，PQ取得最小值．

∵＜，

∴當，即Q點的坐標為（0，）時， PQ的長度最�。�

綜上：當Q點坐標為（，0）或（0，）時，PQ的長度最�。�

解法二： 如圖①，由（2）知P為△ABC的外接圓的圓心．

∵∠APC 與∠ABC對應同一條弧，且∠ABC＝45°，

∴∠APC＝2∠ABC＝90°．

下面解題步驟同解法一．