Question

在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究課中，需要研究兩個同心圓內(nèi)有關(guān)線段的關(guān)系問題，某同學(xué)完成了以下部分記錄單：
記錄單                                      （單位：cm）

	第一次	第二次	第三次
圖形 R=5 r=3
AB	2.50	3.00	3.50
AC	6.40	5.33	4.57
AB•AC

（1）請用計算器計算AB•AC的值，并填入上表的相應(yīng)位置；
（2）對半徑分別為R、r的兩個同心圓，猜測AB•AC與R、r的關(guān)系式，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用計算器進(jìn)行準(zhǔn)確計算；
（2）首先根據(jù)（1）中計算的數(shù)值，可以猜想AB•AC=R²-r²，然后進(jìn)一步運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答：解：（1）AB•AC=2.5×6.4=16；
AB•AC=3.00×5.33=15.99；
AB•AC=15.995；

（2）因?yàn)镽²-r²=16，所以AB•AC=R²-r²．證明如下：
過點(diǎn)O作直線AE，交小圓與D，E，連接BD、CE．
∵∠A=∠A，∠ABD=∠E，
∴△ABD∽△AEC．
∴

AC

AD

=

AE

AB

，
即AB•AC=AD•AE=（R+r）（R-r）=R²-r²．

點(diǎn)評：此題考查了學(xué)生數(shù)學(xué)中的猜想探究能力，能夠熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明．