Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A點的坐標為（5，0），B點與A點關(guān)于y軸對稱，C點在y軸上，連接AC、BC，∠ACB=90°．

（1）求C點坐標；
（2）點P（t，-2t+5）是△AOC內(nèi)部一點，Q是第二象限內(nèi)一點，連接PC、QC，且∠PCQ=90°，PC=CQ，作QE⊥OC，垂足為E，請用含t的式子表示OE的長；
（3）在（2）的條件下，延長QE交AC于點M，連接MP，延長MP交x軸于點N，連接BM，取BM的中點G，連接QG，延長QG交x軸于點H，當QM=6HN時，求MP的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到OC垂直平分AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OA=OC=5，得到答案；
（2）作PD⊥OC于點D，證明△PDC≌△CEQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)△PDC≌△CEQ，得到QE=CD=2t，根據(jù)QM=6HN列出關(guān)系式，計算即可．

解答 解：（1）∵B點與A點關(guān)于y軸對稱，C點在y軸上，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵∠AOC=90°，
∴∠CAB=∠ACO=45°，
∴OA=OC，
∵A點的坐標為（5，0）
∴OA=OC=5，
∴C（0，5）；
（2）作PD⊥OC于點D，
∵QE⊥OC，PD⊥OC，
∴∠QEC=∠PDC=90°，
∵P（t，-2t+5），
∴PD=t，
∵∠PCQ=90°，
∴∠PCD+∠QCE=90°，
∵∠PDC=90°，
∴∠PCD+∠P=90°，
∴∠QCE=∠P，
∵PC=CQ，∠QEC=∠PDC=90°，
∴△PDC≌△CEQ，
∴CE=PD=t，
∵OC=5，
∴OE=5-t；
（3）∵P（t，-2t+5），
∴OD=-2t+5，
∵OC=5，
∴CD=2t，
由（2）知△PDC≌△CEQ，
∴QE=CD=2t，
∵OE=5-t∴Q（-2t，5-t），
∵QE⊥OC，
∴∠CEM=90°，
∵∠ACO=45°，
∴∠CME=∠ACO=45°，
∴CE=EM=t，
∴M（t，5-t），
∵P（t，-2t+5），
∴PM∥y軸，N（t，0），PM=（5-t）-（-2t+5）=t，
∵G是BM的中點，
∴BG=GM，
∵QE⊥OC，
∴∠QEC=∠BOC=90°，
∴QM∥BN，
∴∠QMB=∠HBM，
∵∠BGH=∠MGQ，
∴△QGM≌△HGB，
∴BH=QM=2t+t=3t，
∵B點與A點關(guān)于y軸對稱，A點的坐標為（5，0），
∴B（-5，0），
∵N（t，0），
∴NB=t+5，
∴HN=5-2t，
∵QM=6HN，
∴3t=6（5-2t），
∴t=2，
∴PM=2．

點評 本題考查的是幾何變換的綜合應(yīng)用，掌握軸對稱的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定定理額性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．