Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（8，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，6）．動點(diǎn)P自原點(diǎn)O向A點(diǎn)運(yùn)動，速度為1個(gè)單位/秒；動點(diǎn)Q自原點(diǎn)O沿折線O-B-A運(yùn)動，速度為2個(gè)單位/秒；P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)終止運(yùn)動．
（1）當(dāng)Q點(diǎn)在線段BA上運(yùn)動時(shí)，請直接用t表示Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)t＞3時(shí)，求tan∠QPO的值．
（3）在整個(gè)運(yùn)動過程中是否存在這樣的t值，使得△OQP是直角三角形？如果存在，請求出t的取值范圍或相應(yīng)的t值；如果不存在，請說明理由．
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形？請直接寫出此時(shí)的t值．

Answer 1

分析：（1）如圖1，設(shè)Q（a，b），利用直角三角函數(shù)的定義來求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（2）如圖1，當(dāng)t＞3時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上．在Rt△PQD中，利用∠QDO的正切函數(shù)的定義來解答即可；
（3）需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在OB邊上運(yùn)動時(shí)，△OQP總是直角三角形；②當(dāng)點(diǎn)Q在邊BA上運(yùn)動時(shí)，如圖1，只有∠OQP=90°，然后利用（2）中的正切函數(shù)值來求t的取值；
（4）需要分類討論：①當(dāng)OQ=OP時(shí)，以求得t值；②當(dāng)OQ=OP時(shí)，如圖3，來求t的值．

解答：解：（1）如圖1，點(diǎn)Q在線段AB上，設(shè)Q（a，b）．過點(diǎn)Q作QC⊥OB于點(diǎn)C，過點(diǎn)Q作QD⊥OA于點(diǎn)D．
∵點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B（0，6）．
∴OB=6，OA=8．
∴在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理求得AB=10．
∵CQ∥OA，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2，即

OA

AB

=

CQ

BQ

，
∴

8

10

=

a

2t-6

，
解得，a=

8t-24

5

．
又∵sin∠2=

OB

AB

=

b

10-(2t-6)

，即

6

10

=

b

16-2t

，
解得b=

48-6t

5

，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

8t-24

5

，

48-6t

5

）；

（2）如圖1，當(dāng)t＞3時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上．
由（1）知，OD=a=

8t-24

5

∴PD=OP-OD=t-a=

24-3t

5

，
又由（1）知，QD=b=

48-6t

5

，
∴tan∠QPO=

QD

PD

=

48-6t 5

24-3t 5

=2，即tan∠QPO=2；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在OB邊上運(yùn)動時(shí)，△OQP總是直角三角形，此時(shí)0＜t≤3；
當(dāng)點(diǎn)Q在邊BA上運(yùn)動時(shí)，如圖1，只有∠OQP=90°，過Q點(diǎn)作QH⊥OA，垂足為H，
則tan∠QPO=tan∠OQH=

OH

QH

=2，
∴

8t-24

5

：

48-6t

5

=2，
解得t=6．
∴當(dāng)0＜t≤3或t=6時(shí)，△OQP是直角三角形；

（4）當(dāng)OQ=PQ時(shí)，易求t=

48

11

；
當(dāng)OQ=OP時(shí)，如圖3，過O點(diǎn)作OM⊥PQ，垂足為M；過Q點(diǎn)作QH⊥OP，垂足為H．
設(shè)HP=x，則QH=2x，QP=

5

x，QM=PM=

5

2

x，OM=

5

x，OP=

5

2

x，OH=

3

2

x，
∴OH：OP=3：5，

8t-24

5

：t=3：5解得t=4.8．
當(dāng)t=

48

11

或4.8時(shí)，△OPQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．注意“數(shù)形結(jié)合”與“分類討論”的數(shù)學(xué)思想在本題解答過程中的應(yīng)用．