Question

（2012•葫蘆島一模）如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+

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2

(a≠0)經(jīng)過(guò)A（-3，0），C（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線(xiàn)段BD向終點(diǎn)D作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BD，交BC于點(diǎn)M，以PM為正方形的一邊，向上作正方形PMNQ，邊QN交BC于點(diǎn)R，延長(zhǎng)NM交AC于點(diǎn)E．
①當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線(xiàn)上；
②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形ECRQ為平行四邊形？若存在，求出此時(shí)刻的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例用t表示出PM，再求出NE的長(zhǎng)度，①表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)，解方程即可得解；②根據(jù)PM的長(zhǎng)度表示出QD，再利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，然后根據(jù)直線(xiàn)BC的解析式求出點(diǎn)R的橫坐標(biāo)，從而求出QR的長(zhǎng)度，再表示出EC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等列式求解即可．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+

15

2

經(jīng)過(guò)A（-3，0），C（5，0）兩點(diǎn)，
∴

9a-3b+ 15 2 =0 25a+5b+ 15 2 =0

，
解得

a=- 1 2 b=1

，
所以，拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

2

x²+x+

15

2

；

（2）∵y=-

1

2

x²+x+

15

2

，
=-

1

2

（x²-2x+1）+

1

2

+

15

2

，
=-

1

2

（x-1）²+8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，8），
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，
∴BD=8，CD=5-1=4，
∵PM⊥BD，
∴PM∥CD，
∴△BPM∽△BDC，
∴

BP

BD

=

PM

CD

，
即

t

8

=

PM

4

，
解得PM=

1

2

t，
所以，OE=1+

1

2

t，
∵四邊形PMNQ為正方形，
∴NE=8-t+

1

2

t=8-

1

2

t，
①點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1+

1

2

t，8-

1

2

t），
若點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，則-

1

2

（1+

1

2

t-1）²+8=8-

1

2

t，
整理得，t（t-4）=0，
解得t₁=0（舍去），t₂=4，
所以，當(dāng)t=4秒時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線(xiàn)上；

②存在．
理由如下：∵PM=

1

2

t，四邊形PMNQ為正方形，
∴QD=NE=8-

1

2

t，
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+m，
則

k+m=8 5k+m=0

，
解得

k=-2 m=10

，
所以直線(xiàn)BC的解析式為y=-2x+10，
則-2x+10=8-

1

2

t，
解得x=

1

4

t+1，
所以，QR=

1

4

t+1-1=

1

4

t，
又EC=CD-DE=4-

1

2

t，
根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得QR=EC，
即

1

4

t=4-

1

2

t，
解得t=

16

3

，
此時(shí)點(diǎn)P在BD上，所以，當(dāng)t=

16

3

時(shí)，四邊形ECRQ為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式），相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．