Question

18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，設(shè)運動時間為t秒，當t為3，6或6.5或5.4時，△ACP是等腰三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)題意分四種情況，針對每種情況畫出相應的圖形，求出相應的時間t的值即可解答本題．

解答 解：由題意可得，
第一種情況：當AC=CP時，△ACP是等腰三角形，如右圖1所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，
∴CP=6cm，
∴t=6÷2=3秒；
第二種情況：當CP=PA時，△ACP是等腰三角形，如右圖2所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，
∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，
∴∠PCB=∠PBC，
∴PA=PC=PB=5cm，
∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；
第三種情況：當AC=AP時，△ACP是等腰三角形，如右圖3所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，
∴AP=6cm，AB=10cm，
∴t=（CB+BA-AP）÷2=（8+10-6）÷2=6秒；



第四種情況：當AC=CP時，△ACP是等腰三角形，如右圖4所示，
作CD⊥AB于點D，
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A=$\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}$=$\frac{CD}{AD}$，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{4}{3}$，AB=10cm，
設(shè)CD=4a，則AD=3a，
∴（4a）²+（3a）²=6²，
解得，a=$\frac{6}{5}$，
∴AD=3a=$\frac{18}{5}$，
∴AP=2AD=7.2cm，
∴t=$\frac{8+10-7.2}{2}$=5.4s，
故答案為：3，6或6.5或5.4．

點評 本題考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學思想解答問題．