Question

如圖所示，在△ABC中，PG為BC邊的垂直平分線．且∠PBC=

1

2

∠A，BP的延長線交AC于點D，CP的延長線交AB于點E．求證：BE=CD．

Answer 1

分析：作BF⊥CE于F點，CM⊥BD于M點．證明Rt△BEF≌Rt△CDM．易證Rt△PBF≌Rt△PCM，得到BF=CM；由于∠A=∠BPE，在四邊形ADPE中，根據(jù)內(nèi)角和定理可得∠BEF=∠CDM，所以Rt△BEF≌Rt△CDM．得證．

解答：證明：證明：作BF⊥CE于F點，CM⊥BD于M點，
則∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分線，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，

∠PFB=∠PMC  ∠BPF=∠CPM  PB=PC

，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=

1

2

∠BPE．
∵∠PBC=

1

2

∠A，
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，

∠BEF=∠CDM  ∠BFE=∠CMD  BF=CM

，
∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意構造全等三角形是關鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．