Question

（2012•錦州二模）如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B（8，0），tan∠OCB=2，△ABC的面積為8．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若平行于x軸的動(dòng)直線EF從點(diǎn)C 出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于E、F兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)在線段BO上以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF、AF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．△AFP的面積為S，求S與t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，是否存在t值，使得以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)B（8，0），tan∠OCB=2可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，由△ABC的面積為8可求出AB的長(zhǎng)，故可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)所求拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a、b、c的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）由PB=2t，CE=t，可知OE=4-t，△AFP的高等于OE，再根據(jù)0≤t≤2時(shí)，AP=4-2t和2＜t≤4時(shí)AP=2t-4，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）在Rt△OBC中，由OB=8，OA=4，可求出BC的長(zhǎng)，在Rt△EFC中，由tan∠OCB=2，EC=t，可得出EF，CF的表達(dá)式，再由BP=2t可得出BF=BC-CF，由于在△ABC與△BFP中兩相似三角形的對(duì)應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分△ABC∽△PBF和△ABC∽△FBP兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）在Rt△OBC中，
∵點(diǎn)B（8，0），tan∠OCB=

OB

OC

=2，
∴OC=4，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-4）．
∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=8，
∴AB=4．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
設(shè)所求拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
∵點(diǎn)C（0，-4），則c=-4，
又∵拋物線過點(diǎn)A（4，0），B（8，0），
∴

16a+4b-4=0 64a+8b-4=0

，
解得

a=- 1 8 b= 3 2

，
故所求拋物線的表達(dá)式為y=-

1

8

x²+

3

2

x-4；

（2）∵PB=2t，CE=t，
∴OE=4-t，△AFP的高等于OE．
①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，AP=4-2t，
S=

1

2

AP•OE=

1

2

（4-2t）（4-t）=t²-6t+8；
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，AP=2t-4，
S=

1

2

AP•OE=

1

2

（2t-4）（4-t）=-t²+6t-8．
故S=

t2-6t+8(0≤t≤2) -t2+6t-8(2＜t≤4)

；    


（3）在Rt△OBC中，
∵OB=8，OA=4，
∴由勾股定理得BC=4

5

．
在Rt△EFC中，
∵tan∠OCB=2，EC=t
∴EF=2t，CF=

5

t．
∵BP=2t，
∴BF=BC-CF=4

5

-

5

t=

5

（4-t）．
在△ABC與△BFP中，有公共角∠B．
①當(dāng)

AB

BC

=

PB

FB

時(shí)，△ABC∽△PBF．此時(shí)

4

4 5

=

2t

5 (4-t)

，解得t=

4

3

．
②當(dāng)

AB

BC

=

FB

BP

時(shí)，△ABC∽△FBP．此時(shí)

4

4 5

=

5 (4-t)

2t

，解得t=

20

7

．
綜上所述，當(dāng)t=

4

3

或t=

20

7

時(shí)，△ABC與△PBF相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，在解答（2）、（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．