Question

（2003•婁底）已知關于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-）=0．
（1）求證：無論k取什么實數值，這個方程總有實數根；
（2）能否找到一個實數k，使方程的兩實數根互為相反數？若能找到，求出k的值；若不能，請說明理由．
（3）當等腰三角形ABC的邊長a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）整理根的判別式，得到它是非負數即可．
（2）兩實數根互為相反數，讓-=0即可求得k的值．
（3）分b=c，b=a兩種情況做．
解答：證明：（1）∵△=（2k-3）²≥0，
∴方程總有實根；
解：（2）∵兩實數根互為相反數，
∴x₁+x₂=2k+1=0，
解得k=-0.5；
（3）①當b=c時，則△=0，
即（2k-3）²=0，
∴k=，
方程可化為x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴b+c=4=a不適合題意舍去；
②當b=a=4，則4²-4（2k+1）+4（k-）=0，
∴k=，
方程化為x²-6x+8=0，
解得x₁=4，x₂=2，
∴c=2，
C_△ABC=10，
當c=a=4時，同理得b=2，
∴C_△ABC=10，
綜上所述，△ABC的周長為10．
點評：一元二次方程總有實數根應根據判別式來做，兩根互為相反數應根據根與系數的關系做，等腰三角形的周長應注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．