Question

如圖，已知點(diǎn)A（0，4）、B（4，1），BC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)，且PA⊥PB．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)點(diǎn)A、B、P三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)D與點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，把（2）中的拋物線向上或向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D？請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)及相應(yīng)平移方向與平移距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用垂直的性質(zhì)首先得出∠1=∠2，進(jìn)而得出△BCP∽△POA，根據(jù)=，求出OP的長(zhǎng)即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用點(diǎn)A，B，P三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax ²+bx+c，即可得出答案；
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)分別利用當(dāng)AB=PD₁，AB∥PD₁，當(dāng)AP=BD₂，AP∥BD₂，當(dāng)AB=PD₃，AB∥PD₃，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出平移距離．
解答：解：（1）如圖1所示：
∵PA⊥PB，
∴∠2+∠3=90°，
∵AO⊥x軸，
∴∠1=∠2，
又∵BC⊥x軸，AO⊥x軸，
∴∠BCP=∠POA=90°，
∴△BCP∽△POA，
∴=，
∵點(diǎn)A（0，4）、B（4，1），
∴AO=4，BC=1，OC=4，
∴=，
解得：OP=2，
∴P（2，0）；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A，B，P三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
∵點(diǎn)A（0，4）、B（4，1），
∴，
解得：，
故拋物線解析式為：y=x ²-x+4；

（3）如圖2所示：當(dāng)AB=PD₁，AB∥PD₁，此時(shí)AD₁PB是平行四邊形，AD₁=PB=1，AO=4，則OD₁=3，
故D₁（0，3），利用拋物線過(guò)點(diǎn)A，則拋物線向下平移1個(gè)單位即可過(guò)點(diǎn)D₁；
當(dāng)AP=BD₂，AP∥BD₂，此時(shí)AD₂BP是平行四邊形，AD₂=PB=1，AO=4，則OD₂=5，
故D₂（0，5），利用拋物線過(guò)點(diǎn)A，則拋物線向上平移1個(gè)單位即可過(guò)點(diǎn)D₂；
當(dāng)AB=PD₃，AB∥PD₃，此時(shí)APD₃B是平行四邊形，PD₃=AB=5，A點(diǎn)和D₃點(diǎn)到PB距離相等為4，則點(diǎn)D₃到x軸距離為3，
故D₃（8，-3），∵y=x ²-x+4=（x-）²-，
∴設(shè)拋物線向下平移h個(gè)單位，則過(guò)點(diǎn)（8，-3），故-3=（8-）²--h，
解得：h=21，
故拋物線向下平移21個(gè)單位即可過(guò)點(diǎn)D₃．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)和圖象的平移等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出P點(diǎn)坐標(biāo)以及D點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．