Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A為圓心，AM為半徑作⊙A交BM于N，AN的延長線交BC于D，直線AB交⊙A于P，K兩點，作MT⊥BC于T．
（1）求證：AK=MT；
（2）求證：AD⊥BC；
（3）當AK=BD時，求證：．

Answer 1

證明：（1）∵BM平分∠ABC，∠BAC=90°，MT⊥BC，
∴AM=MT．
又∵AM=AK，
∴AK=MT．

（2）∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM．
∵AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM．
又∵∠ANM=∠BND，
∴∠AMN=∠BND．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABM+∠AMB=90°．
∴∠CBM+∠BND=90°．
∴∠BDN=90°．
∴AD⊥BC．

（3）連接PN、KM
∵BNM和BPK為⊙A的割線，
∴BN•BM=BP•BK．
∴．
∵AK=BD，AK=MT，
∴BD=MT．
∵AD⊥BC，MT⊥BC，
∴∠ADB=∠MTC=90°．
∴∠C+∠CMT=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=90°．
∴∠ABC=∠CMT．
在△ABD和△CMT中，，
∴△ABD≌△CMT．
∴AB=MC．
∵AK=AM，
∴AB+AK=MC+AM．
即BK=AC．
∴．
分析：（1）用角平分線的性質，圓的半徑相等解題；
（2）根據圖中相等角，找互余關系的角，從而推出垂直關系．
（3）連接PN，MK，根據已知證明△ABD≌△CMT再根據邊之間的轉化即可得到結論．
點評：本題考查了角平分線的性質，直角三角形兩銳角互余，圓的割線定理，全等三角形的判定，綜合性強．