Question

（2013•濟(jì)寧三模）如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OA的端點(diǎn)A，O為原點(diǎn)，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），tan∠AOB=

3

2

．
（1）求k的值；
（2）將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過DC的中點(diǎn)E，求直線AE的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若直線AE與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，請你探索線段AN與線段ME的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△AOB中利用三角函數(shù)求得A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得k的值；
（2）已知E是DC的中點(diǎn)，則E的縱坐標(biāo)已知，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（3）首先求得M、N的坐標(biāo)，延長DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的長，即可證得．

解答：解：（1）由已知條件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=

3

2

，∴

AB

OB

=

3

2

，
∴AB=3，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）…（1分）
∴k=xy=6…（2分）
（2）∵DC由AB平移得到，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為

3

2

，…（3分）
又∵點(diǎn)E在雙曲線y=

6

x

上，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，

3

2

）…（4分）
設(shè)直線MN的函數(shù)表達(dá)式為y=k₁x+b，則

2k1+b=3 4k1+b= 3 2

，解得

k1=- 3 4 b= 9 2

，∴直線MN的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x+

9

2

．…（5分）

（3）結(jié)論：AN=ME…（6分）
理由：在表達(dá)式y=-

3

4

x+

9

2

中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=

9

2

，
∴點(diǎn)M（6，0），N（0，

9

2

）…（7分）
解法一：延長DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF=

3

2

，
∴根據(jù)勾股定理可得AN=

5

2

…（8分）
∵CM=6-4=2，EC=

3

2

∴根據(jù)勾股定理可得EM=

5

2

∴AN=ME…（9分）
解法二：連接OE，延長DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF=2，
∵S_△EOM=

1

2

OM•EC=

1

2

×6×

3

2

=

9

2

，S_△AON=

1

2

ON•AF=

1

2

×

9

2

×2=

9

2

…（8分）
∴S_△EOM=S_△AON，
∵AN和ME邊上的高相等，
∴AN=ME…（9分）

點(diǎn)評：本題是待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及勾股定理的綜合應(yīng)用，求得E的坐標(biāo)是關(guān)鍵．