Question

6．如圖，拋物線y=-x²+4x+2的頂點(diǎn)為D，E（4，m）在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)以D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以DE為邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 求得D、E的坐標(biāo)，根據(jù)題意P的縱坐標(biāo)為D和E的縱坐標(biāo)的差，把縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得P的坐標(biāo)．

解答 解：作EF∥x軸，DF⊥EF于F，
∵y=-x²+4x+2=-（x-2）²+6，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，6），
∵E（4，m）在拋物線上，
∴m=-4²+4×4+2=2，
∴E（4，2），
∴DF=6-2=4，EF=4-2=2，
∵點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，以D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以DE為邊的平行四邊形，
∴P的縱坐標(biāo)為±4，
把y=4代入y=-x²+4x+2得，4=-x²+4x+2，
解得x=2±$\sqrt{2}$；
把y=-4代入y=-x²+4x+2得，-4=-x²+4x+2，
解得x=2±$\sqrt{10}$；
∴P的坐標(biāo)為（2+$\sqrt{2}$，4）或（2-$\sqrt{2}$，4）或（2+$\sqrt{10}$，-4）或（2-$\sqrt{10}$，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及平行四邊形的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大．