Question

四邊形ABCD是矩形，點P是直線AD與BC外的任意一點，連接PA、PB、PC、PD．請解答下列問題：

（1）如圖（1），當點P在線段BC的垂直平分線MN上（對角線AC與BD的交點Q除外）時，證明△PAC≌△PDB；

（2）如圖（2），當點P在矩形ABCD內部時，求證：PA²+PC²=PB²+PD²；

（3）若矩形ABCD在平面直角坐標系xoy中，點B的坐標為（1，1），點D的坐標為（5，3），如圖（3）所示，設△PBC的面積為y，△PAD的面積為x，求y與x之間的函數關系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：作BC的中垂線MN，在MN上取點P，連接PA、PB、PC、PD，

如圖（1）所示，∵MN是BC的中垂線，所以有PA=PD，PC=PB，

又四邊形ABCD是矩形，∴AC=DB，∴△PAC≌△PDB（SSS）

（2）證明：過點P作KG//BC ，如圖（2）

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC

∴AB⊥KG，DC⊥KG， ∴在Rt△PAK中，PA²=AK²+PK²

同理，PC²=CG²+PG² ；PB²= BK²+ PK²，PD²=+DG²+PG²

PA²+PC²= AK²+PK²+ CG²+PG^2， ，PB²+ PD²= BK²+ PK² +DG²+PG²

AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB ，可證得四邊形ADGK是矩形，

∴AK=DG，同理CG=BK ，

∴AK²=DG²，CG²=BK²    

∴PA²+PC²=PB²+PD²

（3）∵點B的坐標為（1，1），點D的坐標為（5，3）

∴BC=4，AB=2   ∴=4×2=8

作直線HI垂直BC于點I，交AD于點H

①當點P在直線AD與BC之間時

即x+y=4，因而y與x的函數關系式為y=4－x 

②當點P在直線AD上方時，

即y －x =4，因而y與x的函數關系式為y=4+x

③當點P在直線BC下方時，

即x － y =4，因而y與x的函數關系式為y=x－4 

【解析】（1）利用三角形三邊關系對應相等得出△PAC≌△PDB即可；

（2）利用已知可證得四邊形ADGK是矩形，進而得出，，即可得出答案；

（3）結合圖形得出當點P在直線AD與BC之間時，以及當點P在直線AD上方時和當點P在直線BC下方時，分別求出即可．