Question

如圖，AB、ED是⊙O的直徑，點C在ED延長線上，且∠CBD=∠FAB．點F在⊙O上，且AB⊥DF．連接AD并延長交BC于點G．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求證：BD•BC=BE•CD；
（3）若⊙O 的半徑為r，BC=3r，求tan∠CDG的值．

Answer 1

分析：（1）欲證BC是⊙O的切線，只需證明BC⊥AB即可；
（2）根據相似三角形（△BDC∽△EBC）的對應邊成比例知

BD

EB

=

CD

BC

，即BD•BC=BE•CD；
（3）根據題意，推出OC和CD的長度，然后通過求證△DCG∽△BCD，即可推出DG：BD的值，即∠DBG的正切值，由∠DBG=∠CDG，即可推出∠CDG的正切值．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥DF，
∴

BD

=

BF

，
∴∠FAB=∠DAB；
又∵∠CBD=∠FAB，
又∵∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切線；

（2）證明：由（1）知，∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD（同弧所對的圓周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC．
∴

BD

EB

=

CD

BC

，
∴BD•BC=BE•CD；

（3）解：∵⊙O 的半徑為r，BC=3r，
∴AB=2r，
∴

AB

BC

=

2

3

；
又由（1）知，BC⊥AB，
∴OC=

(OB)2+BC2

=

10

r，
∴CD=（

10

-1）r；
∵AO=DO（⊙O的半徑），
∴∠OAD=∠ODA（等邊對等角）；
∵∠CBD=∠BAD，∠ADO=∠CDG（對頂角相等），
∴∠CDG=∠DBG，
∴△DCG∽△BCD，
∴

CD

CB

=

DG

BD

=

( 10 -1)r

3r

=

( 10 -1)

3

∵tan∠DBG=

DG

BD

=

( 10 -1)

3

，
∴tan∠CDG=

10 -1

3

．

點評：本題主要考查切線的性質、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、銳角三角函數定義等知識點，關鍵在于：（1）熟練運用圓周角定理，切線的性質；（2）根據（1）的結論和已知條件推出△EBC∽△BDC；（3）關鍵在于通過求證△DCG∽△BCD，根據對應邊成比例的性質求出tan∠DBG的值．