Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)DE.

(1) DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；

(2) 若AD、AB的長是方程x²－10x＋24＝0的兩個(gè)根，求直角邊BC的長。

Answer 1

解：⑴DE與半圓O相切.         

證法一： 連結(jié)OD、BD     ∵AB是半圓O的直徑

∴∠BDA＝∠BDC＝90°　　

∵在Rt△BDC中，E是BC邊上的中點(diǎn)

∴DE＝BE　　　∴∠EBD＝∠BDE

∵OB＝OD   ∴∠OBD＝∠ODB   　

又∵∠ABC＝∠OBD＋∠EBD＝90°

∴∠ODE＝∠ODB＋∠EBD＝90°  　

∴DE與半圓O相切. 

證法二： 連結(jié)OD、OE    

                          

∵E是BC上的中點(diǎn)，O是AB上的中點(diǎn)  ∴OE∥AC 

∴∠EOB＝∠OAD，∠EOD＝∠ADO

∵OB＝OD   ∴∠OAD＝∠ADO   　

∴∠EOB＝∠EOD  

又∵OB＝OD，OE＝OE

∴△BOE≌△DOE   ∴∠ODE＝∠ABC＝90°

∴DE與半圓O相切.

（2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC

            

∴ Rt△ABD∽Rt△ABC   　　

∴  ＝  即AB²＝AD?AC∴ AC＝

∵ AD、AB的長是方程x²－10x＋24＝0的兩個(gè)根

解方程x²－10x＋24＝0得： x­­­₁＝4  x₂＝6-

∵ AD<AB  ∴ AD＝4  AB＝6 ∴ AC＝9 

在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝9

∴ BC＝＝＝3