Question

【題目】如圖，拋物線y=－x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AD與y軸相交于點(diǎn)E．

（1）求直線AD的解析式；

（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線AD于點(diǎn)H，求△FGH周長(zhǎng)的最大值；

（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，四邊形APQM是以PM為對(duì)角線的平行四邊形，點(diǎn)Q′與點(diǎn)Q關(guān)于直線AM對(duì)稱，連接M Q′，P Q′．當(dāng)△PM Q′與□APQM重合部分的面積是□APQM面積的時(shí)，求□APQM面積．

Answer 1

【答案】（1）直線AD的解析式為：y=x+1；

（2）△FGH周長(zhǎng)的最大值為；

（3）□APQM面積為5或10．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱得點(diǎn)D坐標(biāo)，繼而利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）設(shè)點(diǎn)F（x，-x2+2x+3），根據(jù)FH∥x軸及直線AD的解析式y=x+1可得點(diǎn)H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），繼而表示出FH的長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得FH的最值情況，易得△FGH為等腰直角三角形，從而可得其周長(zhǎng)的最大值；

（3）設(shè)P（0，p），根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及點(diǎn)M坐標(biāo)可得Q（2，4+p），分P點(diǎn)在AM下方與P點(diǎn)在AM上方兩種情況，根據(jù)重合部分的面積關(guān)系及對(duì)稱性求得點(diǎn)P的坐標(biāo)后即可得APQM面積．

試題解析：（1）令－x2+2x+3=0，

解得x1=－1，x2=3，

∴A（－1，0），C（0，3），

∵點(diǎn)D，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴D（2，3），

∴直線AD的解析式為：y=x+1；

（2）設(shè)點(diǎn)F（x，－x2+2x+3），

∵FH∥x軸，

∴H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），

∴FH=－x2+2x+2-x=-（x－）2+，

∴FH的最大值為，

由直線AD的解析式為：y=x+1可知∠DAB=45°，

∵FH∥AB，

∴∠FHG=∠DAB=45°，

∴FG=GH=×=

故△FGH周長(zhǎng)的最大值為×2+=；

（3）①當(dāng)P點(diǎn)在AM下方時(shí)，如圖，

設(shè)P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），

∵△PM Q′與□APQM重合部分的面積是□APQM面積的，

∴PQ′必過AM中點(diǎn)N（0，2），

∴可知Q′在y軸上，易知QQ′的中點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為1，而點(diǎn)T必在直線AM上，

故T（1，4），從而T、M重合，

故□APQM是矩形，

易得直線AM解析式為：y=2x+2，

而MQ⊥AM，

∴直線QQ′：y=－x+，

∴4+p=－×2+，∴p=－，（注：此處也可用AM2+AP2=MP2得出p=－），∴PN=，

∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；

②當(dāng)P點(diǎn)在AM上方時(shí)，如圖，

設(shè)P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），

∵△PM Q′與□APQM重合部分的面積是□APQM面積的，

∴PQ′必過QM中點(diǎn)R（，4+），

易得直線QQ′：y=－x+p+5，

聯(lián)立解得：x=，y=，

∴H（， ），

∵H為QQ′中點(diǎn)，故易得Q′（， ），

由P（0，p）、R（，4+）易得直線PR解析式為：y=（－）x+p，

將Q′（， ）代入到y=（－）x+p得：

=（－）×+p，

整理得：p2－9p+14=0，解得p1=7，p2=2（與AM中點(diǎn)N重合，舍去），

∴P（0，7），∴PN=5，

∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×∣xM －xA∣=2××5×2=10．

綜上所述，□APQM面積為5或10