Question

8．如圖，△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，△ACE中，∠CAE=90°，AC=AE．
（1）求證：DC=BE；
（2）試判斷∠AFD和∠AFE的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS得出△DAC≌△BAE，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出兩三角形面積相等和DC=BE，根據(jù)面積公式求出AM=AN，根據(jù)角平分線的判定方法即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
又AD=AB，AC=AE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE．
（2）解：∠AFD=∠AFE，理由如下：
過A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如圖所示：
∵△DAC≌△BAE，
∴S_△ACD=S_△ABE，DC=BE，
∴$\frac{1}{2}$DC×AM=$\frac{1}{2}$BE×AN，
∴AM=AN，
∴點(diǎn)A在∠DFE的平分線上，
∴∠AFD=∠AFE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ACD≌△AEB，注意：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．