Question

已知：三點(diǎn)A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象上．
（1）求a的值；
（2）點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．
①當(dāng)△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)∠APB=20°時(shí)，求∠OAP+∠PBC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求a．
（2）①即PA+PB最小時(shí)，△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和取得最小值．作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于點(diǎn)P．
求出直線A′B的解析式，進(jìn)一步求出與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②先求出∠AOC+∠BCO的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定義求解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（a，1）在正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象上，
∴a=2．
（2）①如圖①，作點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′，可得A′（2，-1）．
連接A′B交x軸于點(diǎn)P．

設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），可得此直線的解析式為y=2x-5．
當(dāng)y=0時(shí)，x=2.5．
當(dāng)AP+BP取得最小值時(shí)，可得△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2.5，0）．
②如圖②，設(shè)AA′交x軸于點(diǎn)K．連接OA′、OB、AB，作BM⊥OC于M．

∵A′K=AK=AB=1，∠OKA′=∠A′AB=90°，OK=AA′=2，
∴△OKA′≌△A′AB．（4分）
∴OA′=A′B，∠OA′K=∠ABA′．
∵在Rt△AA′B中，
∠ABA′+∠AA′B=90°，
∴∠OA′B=90°．
∴△OA′B為等腰直角三角形．
∴∠BOA′=∠BOC+∠A′OC=45°．
∵BM⊥OC，OM=MC=3，
∴OB=BC．
∴∠BOC=∠BCO．
∵∠AOC=∠A′OC，
∴∠AOC+∠BCO=45°．
如圖③，當(dāng)∠APB=20°時(shí)，
∠OAP+∠PBC
=360°-（∠AOC+∠BCO）-（∠APO+∠BPC）
=360°-45°-（180°-20°）=155°．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了利用軸對(duì)稱解決線路最短問題及計(jì)算角度，難度較大，要注意耐心的解答．