Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，點P是腰AB上的一個動點．（1）求BC的長；
（2）如圖1，如果點M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面積，求出此時PB的長；（3）過點P作直線PM，是否存在PM將梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時PB的長；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過點A作AE⊥BC，DF⊥BC， ∵∠B=60°，AB=12， ∴sin60°=， ∴AE=6， ∴BE=6，同理可證：FC=6， ∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；   （2）作△PBM的高PG， ∵等腰梯形ABCD的面積是： （AD+BC）AE=×（4+16）×6=60 ∵PM平分梯形ABCD的面積， ∴S△PBM=30， ∵BM=12， ∴PG=5， ∵∠B=60°， ∴PB=， ∴PB=10；   （3）當M在BC上時，梯形ABCD的周長是4+12+16+12=44， ∵PB=10，BM=12時PB+BM=22（符合題意）， PB=12，BM=10時 PB+BM=22（符合題意）， 當M在DC上時（舍去）， 當M在AD上（舍去）， 則存在符合題意的直線PM．