Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（0，2）、（-1，0）、（4，0）．P是線段OC上的一動點（點P與點O、C不重合），過點P的直線x=t與AC相交于點Q．設四邊形ABPQ關于直線x=t的對稱的圖形與△QPC重疊部分的面積為S．
（1）點B關于直線x=t的對稱點B′的坐標為

 

；
（2）求S與t的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點B和B′關于x=t對稱，則設B′橫坐標為a，根據(jù)B、B′的橫坐標之和的一半為對稱軸即可解答；
（2）根據(jù)1.5≤t≤4時和0＜t＜1.5時圖形的不同，分兩種情況得出重合圖形的面積表達式，即為S與t的表達式．

解答：解：（1）設B′橫坐標為a，
則

-1+a

2

=t，
解得a=2t+1．
故B′點坐標為（2t+1，0）．

（2）①如圖，當1.5≤t＜4時，重合部分為三角形，
∵△CPQ∽△COA，
∵

PC

OC

=

PQ

AO

，
即

4-t

4

=

PQ

2

，
則PQ=

4-t

2

．
于是S=

1

2

（4-t）

4-t

2

=

(4-t)2

4

（1.5≤t＜4），

②如圖，0＜t＜1.5時，重合部分為四邊形，
∵A點坐標為（0，2），
∴A′點坐標為（2t，2），
又∵B′點坐標為（2t+1，0），
設直線A′B′解析式為y=kx+b，則將A′（2t，2），
和B′（2t+1，0）分別代入解析式得，

2tk+b=2 (2t+1)k+b=0

，
解得k=-2，b=2+4t．
解析式為y=-2x+（2+4t），
設直線AC解析式為y=mx+n，將A（0，2），C（4，0）分別代入解析式得，

n=2 4m+n=0

，
解得4m+2=0，m=-

1

2

．
解析式為y=-

1

2

x+2．
將y=-

1

2

x+2和y=-2x+（2+4t）組成方程組得

y=- 1 2 x+2 y=-2x+(2+4t)

得

x= 8t 3 y= 6-4t 3

，
D點坐標為（

8t

3

，

6-4t

3

）．
由于B′坐標為（2t+1，0），C點坐標為（4，0），
故B′C=4-（2t+1）=3-2t，
∴S=S_{四邊形QPB'D}=S_△QPC-S_△DB'C=-

13t 2

12

+2t+1（0＜t＜1.5）．

點評：此題以動點問題的形式考查了相似三角形的性質及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，要充分結合圖形特征，找到圖中的重合部分，并根據(jù)不同情況進行解答．