如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(-4,),且在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.

(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在y軸上確定一點(diǎn)M,使MA+MC的值最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)在x軸下方的拋物線上,是否存在點(diǎn)N,使得以N、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?如果存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1);(2)(0,);(3)(2,)或(-10,)

試題分析:(1)先由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,再根據(jù)拋物線在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6,即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得結(jié)果;
(2)作點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),可得(1,0),連接C交軸于一點(diǎn)即點(diǎn)M,此時(shí)MC+MA的值最小,設(shè)直線C的解析式為(k≠0),根據(jù)待定系數(shù)法求得函數(shù)關(guān)系式,即可得到結(jié)果;
(3)由(1)可知,C(-4,),設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D,分①AB=AN1=6,②AB=BN2,③N3A=N3B,三種情況討論即可.
(1)∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為, 
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線.
∵拋物線在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6, 
∴A(-1,0),B( -7,0)
設(shè)拋物線解析式為

解得
∴二次函數(shù)的解析式為
(2)作點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),可得(1,0),連接C交軸于一點(diǎn)即點(diǎn)M,此時(shí)MC+MA的值最小

由作法可知,MA=M
∴MC+MA=MC+M=C
∴當(dāng)點(diǎn)M在線段C上時(shí),MA+MC取得最小值
∴線段C與軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M
設(shè)直線C的解析式為(k≠0) 

解得
∴直線C的解析式為 
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,);
(3)由(1)可知,C(-4,),設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D

∴AD=3
∴在Rt△ADC中,
∴∠CAD=30o
∵AC=BC
∴∠ABC=∠CAB=30o
∴∠ACB=120°
①如果AB=AN1=6,過(guò)N1作EN1⊥x軸于E
由△ABC∽△BAN1得∠BAN1=120o
則∠EAN1 = 60o
∴N1E=3,AE=3
∵A(-1,0)
∴OE=2
∵點(diǎn)N在x軸下方   
∴點(diǎn)N2(2,)
②如果AB=BN2,由對(duì)稱(chēng)性可知N2(-10,)
③如果N3A=N3B,那么點(diǎn)N必在線段AB的中垂線即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)N
經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)N1(2,)與N2(-10,)都在拋物線上
綜上所述,存在這樣的點(diǎn)N,使△NAB∽△ABC,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,)或(-10,).
點(diǎn)評(píng):解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,正確畫(huà)出圖形,注意當(dāng)明確了圖象的頂點(diǎn)時(shí),二次函數(shù)關(guān)系式一半設(shè)成頂點(diǎn)式.
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(1)求拋物線的解析式;
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A.1B.2C.3D.4

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A.    B.
C.   D.

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(1)求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo);
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C.當(dāng)x=2時(shí),有最小值-3;D.當(dāng)x=-2時(shí),有最小值-3;

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