Question

【題目】隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高．某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹(shù)木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利潤(rùn)與投資量成正比例關(guān)系，如圖（1）所示；種植花卉的利潤(rùn)與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元）

（1）分別求出利潤(rùn)與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲取的最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】（1）y1=2x（x≥0）；y=x2（x≥0）；（2）當(dāng)x=8時(shí)，z的最大值是32．

【解析】

試題分析：（1）可根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)總利潤(rùn)=樹(shù)木利潤(rùn)+花卉利潤(rùn)，列出函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)的最值．

試題解析：（1）設(shè)y1=kx，由圖①所示，函數(shù)y1=kx的圖象過(guò)（1，2），

所以2=k1，k=2，

故利潤(rùn)y1關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y1=2x（x≥0）；

∵該拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，

∴設(shè)y2=ax2，

由圖②所示，函數(shù)y2=ax2的圖象過(guò)（2，2），

∴2=a22，a=，

故利潤(rùn)y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是：y=x2（x≥0）；

（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬(wàn)元（0≤x≤8），則投入種植樹(shù)木（8-x）萬(wàn)元，他獲得的利潤(rùn)是z

元，根據(jù)題意，

得z=2（8-x）+x2=x2-2x+16=（x-2）2+14，

當(dāng)x=2時(shí)，z的最小值是14，

∵0≤x≤8，

∴-2≤x-2≤6，

∴（x-2）2≤36，

∴（x-2）2≤18，

∴（x-2）2+14≤18+14=32，

即z≤32，此時(shí)x=8，

答：當(dāng)x=8時(shí)，z的最大值是32．