Question

已知一拋物線經(jīng)過（0，0），（1，1）兩點(diǎn)，且解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為

（＞0）.

1.當(dāng)時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

2.已知點(diǎn)（0，1），若拋物線與射線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)（異于原點(diǎn)），當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時，的值為常數(shù)？當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時，的值為常數(shù)？

3.若點(diǎn)（，）在拋物線上，則稱點(diǎn)為拋物線的不動點(diǎn).將這條拋物線進(jìn)行平移，使其只有一個不動點(diǎn)，此時拋物線的頂點(diǎn)是否在直線上，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.設(shè)該拋物線的解析式為，

∵拋物線經(jīng)過（0，0）、（1，1）兩點(diǎn)，

∴，解得.

∴該拋物線的解析式為 ………………………………………1分

（Ⅰ）當(dāng)時，該拋物線的解析式為  …………………………2分

.

該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）            . ……………………………………3分

2.∵點(diǎn)在軸上，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.

當(dāng)時，有，解得，.

∵點(diǎn)異于原點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）.∴ ………………4分

∵點(diǎn)在射線上，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1.

當(dāng)時，有，，

解得，.

點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）或（，1）           . ……………………………5分

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）時，與重合，此時，，.

與的值都是常數(shù)2.

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）時，

若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，此時＞1，.

∴，.

若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，此時0＜＜1，.

∴，.

∴當(dāng)0＜≤1時，的值是常數(shù)2.  ..………………………………6分

當(dāng)≥1時，的值是常數(shù)2.     ……………………………………7分

3.設(shè)平移后的拋物線的解析式為，

由不動點(diǎn)的定義，得方程：，           ………………8分

即.

∵平移后的拋物線只有一個不動點(diǎn)，∴此方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.

∴判別式，              .…………………9分

有，.

∴頂點(diǎn)（，）在直線上.      …………………………………10分

【解析】先用二次項(xiàng)系數(shù)為及O、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，

得出拋物線的解析式為

（I）     把代入求得拋物線的解析式，然后利用拋物線圖象的性質(zhì)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（II）   利用N點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上求出N點(diǎn)坐標(biāo)，利用M點(diǎn)在直線AB上求出M點(diǎn)坐標(biāo)，分別討論M點(diǎn)在B點(diǎn)兩側(cè)情況，從而得出ON+BM和ON-BM為常數(shù)的a取值范圍；

設(shè)平移后的拋物線的解析式為，利用不動點(diǎn)的定義，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程中，利用只有一個不動點(diǎn)，即是方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根的性質(zhì)得出h、k的關(guān)系，得出點(diǎn)（h，k）在直線上.