Question

直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點，⊙E經過原點O及A、B兩點，C是⊙E上一點，連接BC交OA于點D，∠COD=∠CBO．
（1）求A、B、C三點坐標；
（2）求經過O、C、A三點的拋物線解析式；
（3）試判斷四邊形BOCA的形狀并證明；
（4）直線AB上是否存在點P，使得△COP的周長最��？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點，即可求得點A與點B的坐標，然后連接EC，交x軸于點H，由∠COD=∠CBO，根據垂徑定理的即可求得OH與AH的長，由勾股定理，可求得AB的長，EH的長，繼而求得點C的坐標；
（2）利用待定系數法即可求得經過O、C、A三點的拋物線解析式；
（3）由特殊角的三角函數值，可求得∠OAB與∠COD的度數，然后由圓周角定理，證得OB=AC，∠OCB=∠ABC=30°，即可證得OC∥AB，則可得四邊形BOCA的形狀是等腰梯形；
（4）由OC已知，可得當OP+CP最小時，△COP的周長最��；過點O作OF⊥AB于點F，并延長交⊙O于點K，連接CK交直線AB于點P，此點即為所求；易證得CK是直徑，則可得點P與點E重合，繼而求得P點坐標．
解答：（1）解：∵直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴當x=0時，y=，當y=0時，x=3，
∴點A（3，0），點B（0，），
∴AB==2，
∴AE=BE=AB=，
連接EC，交x軸于點H，
∵∠COD=∠CBO，
∴=，
∴EC⊥OA，OC=AC，
∴OH=AH=OA=，
在Rt△AEH中，EH==，
∴CH=EC-EH=，
∴點C的坐標為：（，-）；

（2）解：設經過O、C、A三點的拋物線的解析式為y=ax（x-3）．
∵點C的坐標為：（，-）；
∴-=a××（-3），
解得：a=，
∴經過O、C、A三點的拋物線的解析式為：y=x²-x；

（3）四邊形BOCA的形狀是等腰梯形．
證明：在Rt△AOB中，tan∠OAB==，
∴∠OAB=30°，
在Rt△OCH中，tan∠COH中，tan∠COD==，
∴∠COD=30°，
∴∠OAB=∠COD，
∴=，
∴OC=AC=2CH=，
∴OC=AC=≠AB，
∵∠ABC=∠COD=30°，∠OCB=∠OAB=30°，
∴∠ABC=∠OCB，
∴OC∥AB，
∴四邊形BOCA的形狀是等腰梯形．

（4）解：存在．
∵OC=，
∴當OP+CP最小時，△COP的周長最小，
過點O作OF⊥AB于點F，并延長交⊙O于點K，連接CK交直線AB于點P，此點即為所求；
∵∠OAB=30°，
∴∠AOF=60°，
∵∠COD=30°，
∴∠COK=90°，
∴CK是直徑，
∵點P在直線AB上，
∴點P于點E重合；
∵點E的橫坐標為：，
∴y=-×+=，
∴點P的坐標為：（，）．
點評：此題考查了一次函數的性質、待定系數法求二次函數的解析式、垂徑定理、圓周角定理以及等腰梯形的判定等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．