Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC⊥AB，BC交⊙O于點D，點E在劣弧BD上，DE的延長線交AB的延長線于點F，連接AE交BD于點G．

（1）求證：∠AED＝∠CAD；

（2）若點E是劣弧BD的中點，求證：ED2＝EGEA；

（3）在（2）的條件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．

【解析】

（1）可得∠ADB＝90°，證得∠ABD＝∠CAD，∠AED＝∠ABD，則結(jié)論得證；

（2）證得∠EDB＝∠DAE，證明△EDG∽△EAD，可得比例線段，則結(jié)論得證；

（3）連接OE，證明OE∥AD，則可得比例線段，則EF可求出．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ABD+∠BAD＝90°

∵AC⊥AB，

∴∠CAB＝90°，

∴∠CAD+∠BAD＝90°

∴∠ABD＝∠CAD，

∵＝，

∴∠AED＝∠ABD，

∴∠AED＝∠CAD；

（2）證明：∵點E是劣弧BD的中點，

∴，

∴∠EDB＝∠DAE，

∵∠DEG＝∠AED，

∴△EDG∽△EAD，

∴，

∴ED2＝EGEA；

（3）解：連接OE，

∵點E是劣弧BD的中點，

∴∠DAE＝∠EAB，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠AEO，

∴∠AEO＝∠DAE，

∴OE∥AD，

∴，

∵BO＝BF＝OA，DE＝2，

∴，

∴EF＝4．