Question

【題目】如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)、，且交邊、于點(diǎn)、，已知，連接、、．

求證：四邊形為菱形；

若平分，求證：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）連接AO并延長(zhǎng)AO交BC于M過(guò)O作OQ⊥AB于Q，連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證出∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案；（2）根據(jù)角平分線定理求出OQ=OM，根據(jù)勾股定理求出BQ=BM，根據(jù)垂徑定理即可推出結(jié)論．

證明：連接并延長(zhǎng)交于過(guò)作于，于，連接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴平行四邊形為菱形．

∵圓過(guò)、，

∴在的垂直平分線上，

∵，

∴，

∵平分，，

∴，

∴由勾股定理得：，

由垂徑定理得：．