精英家教網(wǎng)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,CA=4,∠ABC的角平分線BD交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是線段AB上的一點(diǎn),以BE為直徑的圓O過(guò)點(diǎn)D.
(1)求證:AC是圓O的切線;
(2)求AE的長(zhǎng).
分析:(1)連接OD,證OD⊥AC即可;由于OB=OD,且BD平分∠ABC,利用角平分線的定義以及等邊對(duì)等角可求得∠ODB=∠OBD=∠CBD,由此可證得OD∥BC,而BC⊥AC,即OD⊥AC,由此得證.
(2)根據(jù)∠DAO的正切值,可求出AD、OD的比例關(guān)系,可用未知數(shù)表示出兩者的長(zhǎng),進(jìn)而可求得BE、AE的表達(dá)式,由于AE+BE=AB=5,由此可求出未知數(shù)的值,也就得到了AE的長(zhǎng).
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD;
∵BD平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD,即∠ODB=∠CBD,
∴OD∥BC,
∵BC⊥AC,
∴OD⊥AC;
又∵點(diǎn)D在⊙O上,
∴AC是⊙O的切線.

(2)解:Rt△ABC中,AC=4,BC=3,則AB=5;
在Rt△AOD中,設(shè)AD=4x,則OD=3x,OA=5x;
∵OE=OD=3x,
∴AE=OA-OE=2x,
由于AB=AE+BE=2x+6x=5,故x=
5
8

∴AE=2x=
5
4
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了切線的判定方法,要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,且AB=4,BD=5,則點(diǎn)D到BC的距離是(  )
A、3B、4C、5D、6

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21、如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∠A=55°,則∠DCB=
55
度.

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22、如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.作AB的中垂線l分別交AB、AC及BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、F,連接BE. 求證:EF=2DE.

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如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,sinB=
3
5
,若以C為圓心,R為半徑所得的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn),則R的取值范圍是( 。

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如圖所示,在Rt△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于D,CH⊥AB于H,交AD于F,DE⊥AB垂足為E,求證:四邊形CFED是菱形.

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同步練習(xí)冊(cè)答案