(2007•西城區(qū)二模)如圖,地上有一圓柱,在圓柱下底面的A點處有一螞蟻,它想沿圓柱表面爬行.吃到上底面上與A點相對的B點處的食物(π的近似值取3,以下同).
(1)當圓柱的高h=12厘米,底面半徑r=3厘米時,螞蟻沿側面爬行時最短路程是多少;
(2)當圓柱的高h=3厘米,底面半徑r=3厘米時,螞蟻沿側面爬行也可沿AC到上底面爬行時最短路程是多少;
(3)探究:當圓柱的高為h,圓柱底面半徑為r時,螞蟻怎樣爬行的路程最短,路程最短為多少?
分析:(1)首先畫出圓柱的平面展開圖,求出CB長,再利用勾股定理可求出AB的長,即可求出螞蟻沿側面爬行時最短的路程.
(2)先根據(jù)(1)的方法求出AB的長,再根據(jù)螞蟻沿AC到上底面,再沿直徑CB爬行時,求出AC+BC的長,即可求出螞蟻沿側面爬行也可沿AC到上底面爬行時最短路程.
(3)先根據(jù)在側面沿AB爬行時,得出路程S1,再沿AC再經(jīng)過直徑CB時,得出路程S2,再分兩種情況討論,當S1=S2時兩種爬行路程一樣和當S1>S2時,得出4h<(π2-4)r,再分別六種情況進行討論h和r之間的關系,得出螞蟻怎樣爬行的路程最短.
解答:解:將圓柱體展開,連接AB,
∵底面半徑r=3厘米,
∴CB=
1
2
×2π×3=3π≈9厘米,
∵圓柱的高h=12厘米,即AC=12厘米,
∴AB=
AC2+CB2
=
122+92
=15厘米.
答:螞蟻沿側面爬行時最短路程是15厘米.
(2)當螞蟻沿側面爬行同(1)的方法:
∵AC=3,
BC
=3π≈9,
∴AB=
90
=3
10

當螞蟻沿AC到上底面,再沿直徑CB爬行,有AC+BC=3+6=9.
因為
90
>9,
所以最短路程是經(jīng)AC到上底面,再沿直徑CB爬行的總路程為9.
(3)在側面,沿AB爬行時,S1=
h2+π2r2
,沿AC再經(jīng)過直徑CB時,
則S2=h+2r.
當S1=S2時,
h2+π2r2
=h+2r

整理,得4h=(π2-4)r,由于π取3,
所以4h≈5r.
h≈
5
4
r
時,兩種爬行路程一樣.
當S1>S2時,
h2+π2r2
>h+2r
,整理,得4h<(π2-4)r
當π取3時,有h<
5
4
r
,所以當h<
5
4
r
時,沿AC再經(jīng)過直徑CB到點B時所走路程最短.
同理,當h>
5
4
r
時,沿側面AB走路程最短.
當h<
5
4
r時,沿AC到CB走路程最短為h+2r.
當h<
5
4
r時,沿側面AB走或沿AC到CB走路程一樣長為
h2+9r2
或h+2r.
當h<
5
4
r時,沿側面AB走路程最短為
h2+9r2

當h<
5
4
r時,沿AC到CB走路程最短為h+2r.
點評:此題主要考查了平面展開-最短路徑問題,先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后,再確定兩點之間的最短路徑.一般情況是兩點之間,線段最短.在平面圖形上構造直角三角形解決問題.
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