Question

1．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx-3的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為M．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）判斷△BCM的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式即可；
（2）根據(jù)B、C、M的坐標(biāo)，由勾股定理可求得△BCM三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理的逆定理即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx-3的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
則拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）△BCM為直角三角形，理由如下：
對于拋物線解析式y(tǒng)=x²-2x-3=（x-1）²-4，即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，-4），
令x=0，得到y(tǒng)=-3，即C（0，-3），
根據(jù)勾股定理得：BC=3$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{2}$，
∴BM²=BC²+CM²，
∴△BCM為直角三角形．

點(diǎn)評 此題考查了二次函數(shù)解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理和逆定理是解決問題（2）的關(guān)鍵．