Question

如圖，邊長為20的正方形ABCD截去一角成為五邊形ABCEF，其中DE=10，DF=5，若點(diǎn)P在線段EF上使矩形PMBN有最大面積時(shí)，則PE的長度為    ．

Answer 1

【答案】分析：延長NP交ED于G點(diǎn)，設(shè)PG=x，先由PG∥DF，得出△EPG∽△EFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出EG=2x，MP=10+2x，進(jìn)而得到S_矩形PNBM是x的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出矩形PMBN有最大面積時(shí)PG的值，從而求出此時(shí)PE的長度．
解答：解：如圖1，延長NP交ED于G點(diǎn)，
設(shè)PG=x，則PN=20-x，
∵PG∥DF，
∴△EPG∽△EFD，
∴PG：DF=EG：ED，
即EG：10=x：5，
∴EG=2x，
∴MP=CG=CE+EG=10+2x，
∴S_矩形PNBM=PM•PN=（10+2x）（20-x）=-2x²+30x+200=-2（x-）²+（0≤x≤5），
∵-2＜0，PG=x≤DF=5，
∴當(dāng)x=5時(shí)，S_矩形PNBM有最大值300．
當(dāng)PG=5時(shí)，如圖2，此時(shí)P與F重合．
在△PDE中，∠PDE=90°，PD=5，DE=10，
由勾股定理，得PE==5．
故答案為5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．本題根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出EG=2x，進(jìn)而得到S_矩形PNBM是x的二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．