Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y＝x＋2的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y＝ax2＋bx＋c關(guān)于直線x＝對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)A. C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)為B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于M，交AC于Q，求PQ的⊥最大值，并求此時(shí)△APC的面積；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找出使△ADC為直角三角形的點(diǎn)D,直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x＋2；(2)4；（3）D點(diǎn)的坐標(biāo)為(,5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).

【解析】分析：（1）由直線過(guò)點(diǎn)A，可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由A、B關(guān)于直線x=對(duì)稱可找出B點(diǎn)的坐標(biāo)．由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）直線AC的解析式為y=-x+2，即x+y-2=0，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-m+2）；則P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m2+m+2），由此得到PQ=-（m-2）2+2，由二次函數(shù)最值的求法得到：點(diǎn)P（2，3），由分割法求得：S△PAC=S梯形OCPM+S△PMA-S△AOC；

（3）假設(shè)存在，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，△ADC為直角三角形分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)：作DM⊥y軸于M由△CD1M∽△ACO可得：CM=3，所以OM=5，即D1（，5）；

②同理當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)可求D2（，-5）；

③當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)：過(guò)D3作MN⊥y軸．由△CD3M∽△D3NA可得：n2-2n=．易得D3（,1＋），D4（,1－）．

詳解：(1)令y＝x＋2＝0，解得：x＝4，

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).

∵A、B關(guān)于直線x＝對(duì)稱， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).

令x＝0，則y＝2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2)，

∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、 B、C，

∴有解得： a＝，b＝，c＝2.

故拋物線解析式為y＝x2＋x＋2

(2)直線AC的解析式為y＝－x＋2,即x＋y2＝0，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，－m＋2) ；則P點(diǎn)坐標(biāo)為(m, m2＋m＋2)，

∴PQ＝（m2＋m＋2）－（－m＋2）

＝m2＋2m＝－（m－2）2＋2

∴當(dāng)m＝2時(shí)，PQ最大＝2

此時(shí)點(diǎn)P（2,3）S△PAC＝S梯形OCPM＋S△PMA－S△AOC＝5＋3－4＝4

(3)假設(shè)存在,設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(,5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).

解法如下：設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)（，m）

△ADC為直角三角形分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)：作DM⊥y軸于M

由△CD1M∽△ACO可得：

∴,CM＝3 ∴OM＝5即D1（,5）

②同理當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)可求D2(,5)

③當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí):

過(guò)D3作MN⊥y軸

由△CD3M∽△D3NA可得：

∴，可得：n2－2n＝

解得：n＝1±

D3(,1＋),D4(,1－)

故D點(diǎn)的坐標(biāo)為(,5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).