Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AD垂直于過(guò)點(diǎn)C的切線，垂足為D．

(1)求證：AC平分BAD；

(2)若AC＝，CD＝2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖：連接OC。

∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD。

∴∠ADC＝∠OCF＝90°。∴AD∥OC。

∴∠DAC＝∠OCA。

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA。

∴∠DAC＝∠OAC，即AC平分∠BAD。

（2）連接BC。

在Rt△ADC中，AC＝，CD＝2，∴AD＝4。

∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ADC。

∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB。

∴，即。

∴AB＝5。

【解析】切線的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。

（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)判斷出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根據(jù)OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，可得AC平分∠BAD。

（2）連接BC，得到△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的長(zhǎng)。