如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)P沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q沿y軸正方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,分別交直線y=x+2、y=-x+1于C、D兩點(diǎn).分別以O(shè)Q、CD為邊向右作正方形OQAB和正方形CDEF.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),正方形OQAB與正方形CDEF的面積相等.
(2)設(shè)正方形OQAB與正方形CDEF的重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,使△AEF為等腰三角形的不同t值有
4
4
個(gè).
分析:(1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(t,0).根據(jù)正方形OQAB與正方形CDEF的面積相等時(shí)CD=OQ,依此得到關(guān)于t的方程,解方程即可求解;
(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段AQ上時(shí),求得t=
1
4
.再分①當(dāng)0<t≤
1
4
時(shí);②當(dāng)
1
4
<t≤1時(shí);③當(dāng)t>1時(shí);三種情況討論可得S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)△AEF為等腰三角形,則AE=AF或AE=EF或AF=EF,依此可得使△AEF為等腰三角形的不同t值,從而求解.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(t,0).
當(dāng)xC=t時(shí),yC=-t+1,
當(dāng)xD=t時(shí),yD=t+2,
∴CD=yD-yC=(t+2)-(-t+1)=2t+1,
∵OQ=3t
∴當(dāng)正方形OQAB與正方形CDEF的面積相等時(shí),CD=OQ
∴2t+1=3t,
解得t=1;
      
(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段AQ上時(shí),yQ=3t,yC=-t+1,
∴3t=-t+1
解得t=
1
4

①當(dāng)0<t≤
1
4
時(shí),S=0;
②當(dāng)
1
4
<t≤1時(shí),S=[(2t+1)-(t+2-3t)](3t-t)=8t2-2t;
③當(dāng)t>1時(shí),S=(t+2)(3t-t)=2t2+4t.

(3)t有4個(gè)值,分別為
1
2
1
3
、
3+
6
6
、
3-
6
6

設(shè)t秒的時(shí)候P的坐標(biāo)為(a,0),那么可以得出Q(0,3a).
那么A點(diǎn)坐標(biāo)為(3a,3a).
把P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入y=-x+1,y=x+2,
則C,D點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(a,-a+1)(a,a+2)
正方形CDEF邊長(zhǎng)CD為2a+1,
那么DE=EF=CD=2a+1.
則E,F(xiàn)點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是a+2a+1=3a+1,
則E(3a+1,a+2),F(xiàn)(3a+1,-a+1)
△AEF為等腰三角形,則AE=AF或AE=EF或AF=EF
AE=AF,即AE2=AF2,
由勾股定理可得
12+(2a-2)2=12+(4a-1)2且a>0
解得a=
1
2
,
同理可得a=
1
3
,a=
3+
6
6
,a=
3-
6
6

綜上所述t=a=
1
2
1
3
3+
6
6
3-
6
6
,共4個(gè).
故答案為:4.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題,其中應(yīng)用到了等腰三角形的性質(zhì)、正方形及勾股定理的性質(zhì),分類思想的運(yùn)用,鍛煉了學(xué)生運(yùn)用綜合知識(shí)解答題目的能力.
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(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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5
29
5
29

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5

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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過(guò)程,只需寫出結(jié)果).

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