Question

10．如圖，△ABC中，∠ABC=45°，AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，BC=12，以AC為直角邊，A為直角頂點作等腰直角△ACD，則BD的長為13．

Answer 1

分析 由于AD=AC，∠CAD=90°，則可將△ABD繞點A順時針旋轉90°得△AEC，如圖，根據旋轉的性質得∠BAE=90°，AB=AE，BD=CE，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，則∠ABE=45°，BE=$\sqrt{2}$AB=5，易得∠CBE=90°，然后在Rt△CBE中利用勾股定理計算出CE=13，從而得到BD=13．

解答 解：∵△ADC為等腰直角三角形，
∴AD=AC，∠CAD=90°，
將△ABD繞點A順時針旋轉90°得△AEC，如圖，
∴∠BAE=90°，AB=AE，BD=CE，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=5，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBE=45°+45°=90°，
在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴BD=13．
故答案為13．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決本題的關鍵的利用旋轉得到直角三角形CBE．