Question

如圖，將圓形紙片沿弦AB折疊后，圓弧恰好能經過圓心O，⊙O的切線BC與AO延長線交于點C．

（1）若⊙O半徑為6cm，用扇形OAB圍成一個圓錐的側面，求這個圓錐的底面圓半徑．

（2）求證：AB=BC．

Answer 1

【考點】切線的性質；圓錐的計算；翻折變換（折疊問題）．

【分析】（1）過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，根據題意OE=OA，得出∠OAE=30°，∠AOE=60°，從而求得∠AOB=2∠AOE=120°，根據弧長公式求得弧AB的長，然后根據圓錐的底面周長等于弧長得出2πr=4π，即可求得這個圓錐的底面圓半徑；

（2）連接OB，根據切線的性質得出∠OBC=90°，根據三角形外角的性質得出∠C=30°，從而得出∠BAC=∠C，根據等角對等邊即可證得結論．

【解答】解：（1）設圓錐的底面圓半徑為r，

過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，連接OB，

有折疊可得 OE=OD，

∵OD=OA，

∴OE=OA，

∴在Rt△AOE中∠OAE=30°，則∠AOE=60°，

∵OD⊥AB，

∴∠AOB=2∠AOE=120°，

∴弧AB的長為： =4π，

∴2πr=4π，

∴r=2；

（2）∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠CBO=90°

∴∠C=30°，

∴∠OAE=∠C，

∴AB=BC．

【點評】本題考查了折疊的性質，垂徑定理，弧長的計算，切線的性質以及等腰三角形的判定和性質，找出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．