Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A重合），BE交對(duì)角線于F，連接DF．
（1）求證：BF=DF；
（2）設(shè)AF=x，△ABF面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD，
在△ABF和△ADF中，
∵，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF=DF；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB，
∵∠BAC=45°（正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角），
∴FM=AF=x，
∴y=AB•FM=×2×x=x，
∵E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴AF的最大值為AC=×AB=××2=2，
∴自變量的取值范圍是0＜x≤2，
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=x（0＜x≤2），圖象如圖．
分析：（1）根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BAC=∠DAC=45°，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出FM的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式列式整理即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及作正比例函數(shù)圖象，比較簡(jiǎn)單，（2）中作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形從而求出AB邊上的高是解題的關(guān)鍵，要注意自變量的取值范圍．