Question

【題目】拋物線y=（x﹣3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，點D為頂點．

（1）求點B及點D的坐標(biāo)．

（2）連結(jié)BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E．

①若線段BD上一點P，使∠DCP=∠BDE，求點P的坐標(biāo)．

②若拋物線上一點M，作MN⊥CD，交直線CD于點N，使∠CMN=∠BDE，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣4）；（2）點M坐標(biāo)為（，﹣）或（5，12）．

【解析】試題分析：（1）解方程求出或 拋物線與軸交于兩點（點A在點B左側(cè)），確定點的坐標(biāo)為 將配方，寫成頂點式為即可確定頂點 的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)拋物線得到點C、點E的坐標(biāo)．連接BC，過點C作于H，由勾股定理得出證明為直角三角形．

分別延長與軸相交于點 根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明 得出運用待定系數(shù)法求出直線CQ的解析式為y=-直線BD的解析式為解方程組即可求出點P的坐標(biāo)；
②分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)點M在對稱軸右側(cè)時．若點N在射線CD上，如備用圖1，延長MN交y軸于點F，過點M作軸于點G，先證明由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出．設(shè)，再證明均為等腰直角三角形，然后用含的代數(shù)式表示點M的坐標(biāo)，將其代入拋物線求出的值，得到點M的坐標(biāo)；若點N在射線DC上，同理可求出點M的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)點M在對稱軸左側(cè)時．由于得到 根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出 而拋物線左側(cè)任意一點K，都有 所以點M不存在．

試題解析：

（1）∵拋物線與軸交于兩點（點A在點B左側(cè)），

∴當(dāng)時，

解得或

∴點B的坐標(biāo)為

∴頂點D的坐標(biāo)為

（2）①如右圖．

∵拋物線與與y軸交于點C，

∴C點坐標(biāo)為

∵對稱軸為直線

∴點E的坐標(biāo)為

連接BC，過點C作于H，則H點坐標(biāo)為

為直角三角形．

分別延長與軸相交于點

即

∴直線CQ的解析式為

直線BD的解析式為

由方程組 解得 ．

∴點P的坐標(biāo)為

②（Ⅰ）當(dāng)點M在對稱軸右側(cè)時．

若點在射線上，如備用圖1，延長MN交軸于點F，過點M作軸于點．

設(shè) 則

均為等腰直角三角形，

代入拋物線解得

若點N在射線DC上，如備用圖2，MN交y軸于點F，過點M作軸于點G．

設(shè) 則

均為等腰直角三角形，

代入拋物線解得

代入拋物線，解得

（Ⅱ）當(dāng)點M在對稱軸左側(cè)時．

而拋物線左側(cè)任意一點K，都有

∴點M不存在．

綜上可知，點M坐標(biāo)為或